波の重ね合わせ

はじめに

単純な正弦波を複数足し合わせると、より複雑な波形を作ることができる。この「重ね合わせの原理」は、音楽における和音から、電気回路の解析まで、幅広い応用を持つ。

重ね合わせの原理

2つの波 $f_1(x)$ と $f_2(x)$ があるとき、これらを足し合わせた

$$f(x) = f_1(x) + f_2(x)$$

も波である。これを重ね合わせの原理という。

同じ周波数の波の合成

同じ角周波数 $\omega$ を持つ2つの正弦波：

$$f_1(x) = A_1\sin(\omega x + \phi_1), \quad f_2(x) = A_2\sin(\omega x + \phi_2)$$

を合成すると、結果も同じ角周波数の正弦波になる：

$$f_1(x) + f_2(x) = A\sin(\omega x + \phi)$$

ただし、$A$ と $\phi$ は元の振幅と位相から計算される。

うなり

周波数がわずかに異なる2つの波を重ねるとうなり（beat）が生じる：

$$\sin(\omega_1 x) + \sin(\omega_2 x) = 2\cos\left(\dfrac{\omega_1 - \omega_2}{2}x\right)\sin\left(\dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2}x\right)$$

$\omega_1 \approx \omega_2$ のとき、右辺は：

• 高い周波数 $\dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ で振動する波
• 低い周波数 $\dfrac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ で振幅が変化

という形になる。楽器のチューニングでうなりを聴いて音程を合わせるのは、この現象を利用している。

倍音と音色

バイオリンやフルートのように音程のはっきりした楽器の音は、基本周波数（基音）とその整数倍の周波数（倍音）の重ね合わせでよく近似できる。

基本角周波数を $\omega$ とすると：

$$f(x) = A_1\sin(\omega x) + A_2\sin(2\omega x) + A_3\sin(3\omega x) + \cdots$$

• $\sin(\omega x)$：基音（第1倍音）
• $\sin(2\omega x)$：第2倍音（1オクターブ上）
• $\sin(3\omega x)$：第3倍音

各倍音の振幅 $A_n$ の比率が、楽器ごとの音色を決める。同じ高さの「ラ」でも、フルートとバイオリンで音色が違うのは、倍音構成（各倍音の振幅の比）が異なるためである。

波形の合成

例：矩形波の近似

周期 $2\pi$ の矩形波（値が $+1$ と $-1$ を交互にとる波）は、奇数次の正弦波の和で近似できる：

$$f(x) \approx \dfrac{4}{\pi}\left(\sin x + \dfrac{1}{3}\sin 3x + \dfrac{1}{5}\sin 5x + \cdots\right)$$

• $\sin x$ だけ：なめらかな正弦波
• $\sin x + \dfrac{1}{3}\sin 3x$：少し角ばった形
• 項を増やすほど：矩形波に近づく

このように、十分な数の正弦波を重ねれば、どんな周期関数も近似できる。これがフーリエ級数の核心的アイデアである。

まとめ

• 波は足し合わせることができる（重ね合わせの原理）
• 周波数の近い波を重ねるとうなりが生じる
• 楽器の音色は倍音構成で決まる
• 複雑な周期波形も正弦波の重ね合わせで作れる

参考文献

• オームの音響法則 — Wikipedia
• T. Reichenbach, A. J. Hudspeth, "Discrimination of Low-Frequency Tones Employs Temporal Fine Structure", PLoS One, 7(9): e45579, 2012. doi:10.1371/journal.pone.0045579

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