フーリエ級数入門

Q: フーリエ級数とはどのようなものか。

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を $f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ の形に展開したものである。係数は $a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$、$b_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx$ で求める。

Q: フーリエ係数はどのように計算するのか。

三角関数系の直交性を利用する。フーリエ級数の両辺に $\cos nx$ を掛けて $-\pi$ から $\pi$ まで積分すると、直交性によって $n$ 以外の項の積分はすべて $0$ になり、$a_n$ の項だけが残る。こうして $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$ が得られる。あとは実際にこの積分を計算すればよい。

Q: 定数項を a_0/2 と、わざわざ 2 で割って書くのはなぜか。

こう書いておくと、係数 $a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$ で $n=0$ とした場合が、そのまま定数項を与えてくれるからである。$\cos 0 = 1$ なので $a_0 = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$ となり、これを $2$ で割った $\dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$ は、ちょうど $f(x)$ の 1 周期にわたる平均値になる。つまり定数項は関数全体の平均の高さを表しており、$2$ で割るのは公式の形をきれいにそろえるための約束である。

周期関数を三角関数の和で表す

入門（高校数学レベル）

はじめに

前章で見たように、正弦波を重ね合わせると複雑な波形を作れる。では逆に、任意の周期関数を正弦波の和として表すことはできるだろうか？この問いに対する答えがフーリエ級数である。

フーリエ級数のアイデア

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を、三角関数の無限和で表す：

$$f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx\right)$$

右辺の各項の意味：

$\dfrac{a_0}{2}$：定数項（関数の「平均値」）
$a_n\cos nx$：周波数 $n$ のコサイン成分
$b_n\sin nx$：周波数 $n$ のサイン成分

係数 $a_n$, $b_n$ をフーリエ係数という。これらを適切に決めれば、驚くほど多くの周期関数がこの形で表せる。

フーリエ係数の求め方

フーリエ係数は次の公式で計算できる：

$$a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$$

$$a_n = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx \quad (n \geq 1)$$

$$b_n = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx \quad (n \geq 1)$$

なぜこの公式が成り立つか

三角関数の直交性（「三角関数の復習」で学んだ）がポイントである。例えば $a_n$ を求めるには、フーリエ級数の両辺に $\cos nx$ を掛けて $-\pi$ から $\pi$ まで積分する。直交性により、$\cos mx$ と $\cos nx$（$m \neq n$）の積の積分は $0$ になるので、$a_n$ の項だけが残る。

フーリエ係数の意味

フーリエ係数は、関数に含まれる各周波数成分の「強さ」を表す。

$|a_n|$ や $|b_n|$ が大きい → 周波数 $n$ の成分が強い
$|a_n|$ や $|b_n|$ が小さい → 周波数 $n$ の成分が弱い

これは音の周波数分析に例えられる。和音を聴いたとき、どの音（周波数）がどのくらいの強さで含まれているかを数値化するのと同じことである。

スペクトル

各周波数 $n$ に対する係数の大きさ $\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ をグラフにしたものをスペクトルという。これにより、関数の「周波数成分」を視覚的に把握できる。

例として矩形波（くけいは）のスペクトルを見てみよう。「矩形」とは長方形（正方形も含む）のことで、矩形波は一定の高さと低さを交互に繰り返す、角ばった波形である。

図 1: 矩形波（元の波形）。その成分の強さが下のスペクトルである。

図 2: 矩形波のスペクトル。奇数次成分のみを含み、$1/n$ で減衰する。

簡単な例

例：$f(x) = x$（$-\pi < x < \pi$）

この $f(x) = x$ を周期 $2\pi$ で繰り返した波形は、右上がりの直線が一定間隔でストンと落ちる形になる。これはノコギリ波（鋸歯状波）と呼ばれる波形で、その名のとおりノコギリの歯のようなギザギザの形をしている。

図 3: ノコギリ波（元の波形）。$f(x)=x$ を周期的に繰り返した形。

この関数は奇関数なので、$a_n = 0$（すべての $n$ について）。残るのは $b_n$ だけである。これを定義どおり計算してみよう。

$$b_n = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx$$

被積分関数は「$x$」と「$\sin nx$」の積になっているので、部分積分を使う。高校（数学III）で習う部分積分の公式は次の形である：

$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

この公式は、積の片方 $g'$ を積分して $g$ に直し、残りの $f$ を微分した $f'$ とで作った積分を引く、という形をしている。うまく使うには、次の $2$ つを同時に満たすように $f$ と $g'$ を割り当てるとよい。

$f$ には微分すると簡単になる方を選ぶ（右側に残る積分 $\int f'(x)g(x)\,dx$ が簡単になる）
$g'$ には簡単に積分できる方を選ぶ（$g$ がきちんと求められる）

今回は、$x$ は微分すると $1$ になって消え、$\sin nx$ は積分できる（$-\dfrac{1}{n}\cos nx$ になる）。どちらの条件も満たすので、$f(x) = x$、$g'(x) = \sin nx$ と選ぶ。

すると $f'(x) = 1$、$g(x) = \displaystyle\int \sin nx\,dx = -\dfrac{1}{n}\cos nx$ となる。これらを公式にあてはめると：

$$\int x\sin nx\,dx = x\cdot\left(-\dfrac{1}{n}\cos nx\right) - \int 1\cdot\left(-\dfrac{1}{n}\cos nx\right)dx$$

右辺を整理すると：

$$\int x\sin nx\,dx = -\dfrac{x}{n}\cos nx + \dfrac{1}{n}\int \cos nx\,dx$$

右に残った積分は $\displaystyle\int\cos nx\,dx = \dfrac{1}{n}\sin nx$ なので、原始関数は次のようになる：

$$\int x\sin nx\,dx = -\dfrac{x}{n}\cos nx + \dfrac{1}{n^2}\sin nx$$

あとは、これに $x=\pi$ と $x=-\pi$ を代入して引き算する（定積分）。ここで $n$ は整数なので、$\sin n\pi = 0$ となり、$\sin$ を含む第 2 項は両端とも消えてしまう点がポイントである。

$x=\pi$ を入れると：$-\dfrac{\pi}{n}\cos n\pi + 0 = -\dfrac{\pi}{n}\cos n\pi$
$x=-\pi$ を入れると：$+\dfrac{\pi}{n}\cos n\pi + 0 = +\dfrac{\pi}{n}\cos n\pi$（$\cos$ は偶関数なので $\cos(-n\pi)=\cos n\pi$）

上端の値から下端の値を引くと：

$$\left[-\dfrac{x}{n}\cos nx + \dfrac{1}{n^2}\sin nx\right]_{-\pi}^{\pi} = -\dfrac{\pi}{n}\cos n\pi - \dfrac{\pi}{n}\cos n\pi = -\dfrac{2\pi}{n}\cos n\pi$$

ここで $\cos n\pi$ は、$n$ が偶数なら $1$、奇数なら $-1$ となる。これはまとめて $\cos n\pi = (-1)^n$ と書ける。これを代入し、最初の $\dfrac{1}{\pi}$ を掛けると：

$$b_n = \dfrac{1}{\pi}\cdot\left(-\dfrac{2\pi}{n}(-1)^n\right) = -\dfrac{2(-1)^n}{n} = 2(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}$$

最後は符号を $-(-1)^n = (-1)^{n+1}$ と書き直してまとめた。これで $b_n$ が求まった。したがって：

$$f(x) = 2\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{3}\sin 3x - \dfrac{1}{4}\sin 4x + \cdots\right) \tag{1}$$

これは、ノコギリ波がサイン波の和だけで表せることを示している。係数 $b_n = 2(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}$ の大きさは $|b_n| = \dfrac{2}{n}$ で、$n$ が大きくなるほど（高い周波数ほど）ゆるやかに小さくなっていく。これをスペクトルとして描くと次のようになる。

図 4: ノコギリ波のスペクトル。全次数を含み $2/n$ で減衰（符号は交互）。

補足（はじめは読み飛ばしてよい）：式 (1) は、不連続点では厳密には等号が成り立たない。不連続点では、右極限と左極限の平均（この例では $x = \pm\pi$ などで $0$）に収束する。この不連続点での収束のしかたやギブズ現象については「収束の直感的理解」で扱う。

まとめ

フーリエ級数は、周期関数を三角関数の無限和で表す
フーリエ係数は積分公式で計算できる
三角関数の直交性が公式の導出に使われる
フーリエ係数は各周波数成分の強さを表す

よくある質問

Q1: フーリエ級数とはどのようなものか。

A: 周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を $f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ の形に展開したものである。係数は $a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$、$b_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx$ で求める。

Q2: フーリエ係数はどのように計算するのか。

A: 三角関数系の直交性を利用する。フーリエ級数の両辺に $\cos nx$ を掛けて $-\pi$ から $\pi$ まで積分すると、直交性によって $n$ 以外の項の積分はすべて $0$ になり、$a_n$ の項だけが残る。こうして $a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$ が得られる。あとは実際にこの積分を計算すればよい。

Q3: 定数項を $\dfrac{a_0}{2}$ と、わざわざ $2$ で割って書くのはなぜか。

A: こう書いておくと、係数 $a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$ で $n=0$ とした場合が、そのまま定数項を与えてくれるからである。$\cos 0 = 1$ なので $a_0 = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$ となり、これを $2$ で割った $\dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx$ は、ちょうど $f(x)$ の 1 周期にわたる平均値になる。つまり定数項は関数全体の「平均の高さ」を表しており、$2$ で割るのは公式の形をきれいにそろえるための約束である。