簡単な関数の展開

具体例で学ぶフーリエ級数

入門（高校数学レベル）

はじめに

フーリエ級数の公式を実際の関数に適用して、いくつかの重要な例を計算してみよう。これらの例は、フーリエ解析の理解を深めるだけでなく、応用上も重要である。

矩形波

周期 $2\pi$ の矩形波を考える：

$$f(x) = \begin{cases} 1 & (0 < x < \pi) \\ -1 & (-\pi < x < 0) \end{cases}$$

x f(x) π 2π -π
図 1: 矩形波の波形（周期 $2\pi$）。破線は不連続点での跳び。

フーリエ係数の計算

この関数は奇関数なので $a_n = 0$。$b_n$ を計算すると：

$$b_n = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}\sin nx\,dx$$

$$= \dfrac{2}{\pi}\left[-\dfrac{\cos nx}{n}\right]_0^{\pi} = \dfrac{2}{n\pi}(1 - \cos n\pi) = \dfrac{2}{n\pi}(1 - (-1)^n)$$

$n$ が偶数のとき $b_n = 0$、$n$ が奇数のとき $b_n = \dfrac{4}{n\pi}$。

結果

$$f(x) = \dfrac{4}{\pi}\left(\sin x + \dfrac{1}{3}\sin 3x + \dfrac{1}{5}\sin 5x + \dfrac{1}{7}\sin 7x + \cdots\right)$$

奇数次のサイン波だけで構成されている。これは矩形波の対称性を反映している。

n |bₙ| 1 3 5 7 9
図 2: 矩形波のスペクトル。奇数次のみで $1/n$ 減衰。

三角波

周期 $2\pi$ の三角波を考える：

$$f(x) = |x| \quad (-\pi \leq x \leq \pi)$$

x f(x) π 2π -π
図 3: 三角波 $|x|$ の波形（周期 $2\pi$）。

フーリエ係数の計算

この関数は偶関数なので $b_n = 0$。

$$a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}x\,dx = \pi$$

$$a_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx = \dfrac{2}{n^2\pi}(\cos n\pi - 1) = \dfrac{2}{n^2\pi}((-1)^n - 1)$$

$n$ が偶数のとき $a_n = 0$、$n$ が奇数のとき $a_n = -\dfrac{4}{n^2\pi}$。

結果

$$|x| = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi}\left(\cos x + \dfrac{1}{9}\cos 3x + \dfrac{1}{25}\cos 5x + \cdots\right)$$

係数が $1/n^2$ で減衰するので、矩形波より収束が速い。

n |aₙ| 0 1 3 5 7
図 4: 三角波のスペクトル。定数項（$n=0$）＋奇数次で $1/n^2$ 減衰。

のこぎり波

周期 $2\pi$ ののこぎり波（前章の例）：

$$f(x) = x \quad (-\pi < x < \pi)$$

x f(x) π 2π -π
図 5: のこぎり波の波形（周期 $2\pi$）。破線は不連続点での跳び。

結果（再掲）

$$x = 2\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{3}\sin 3x - \dfrac{1}{4}\sin 4x + \cdots\right)$$

$$= 2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$$

n |bₙ| 1 2 3 4 5
図 6: のこぎり波のスペクトル。全次数で $1/n$ 減衰。

放物線

周期 $2\pi$ の放物線：

$$f(x) = x^2 \quad (-\pi \leq x \leq \pi)$$

x f(x) π 2π -π
図 7: 放物線 $x^2$ の波形（周期 $2\pi$）。

フーリエ係数の計算

偶関数なので $b_n = 0$。

$$a_0 = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx = \dfrac{2\pi^2}{3}$$

$$a_n = \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}x^2\cos nx\,dx = \dfrac{4(-1)^n}{n^2}$$

結果

$$x^2 = \dfrac{\pi^2}{3} + 4\left(-\cos x + \dfrac{1}{4}\cos 2x - \dfrac{1}{9}\cos 3x + \cdots\right)$$

n |aₙ| 0 1 2 3 4 5
図 8: 放物線のスペクトル。定数項（$n=0$）＋全次数で $1/n^2$ 減衰。

$\pi^2$ の計算への応用

$x = \pi$ を代入すると：

$$\pi^2 = \dfrac{\pi^2}{3} + 4\left(1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \cdots\right)$$

これを整理すると：

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

という有名な結果（オイラーのバーゼル問題）が得られる。

収束の速さの比較

関数 係数の減衰 収束の速さ
矩形波 $1/n$ 遅い
のこぎり波 $1/n$ 遅い
三角波 $1/n^2$ 速い
放物線 $1/n^2$ 速い

一般に、関数が滑らかであるほどフーリエ係数は速く減衰し、級数の収束も速くなる。不連続点を持つ関数（矩形波、のこぎり波）は収束が遅い。

π 2π 3π x 矩形波 5項 (1/n) 三角波 5項 (1/n²)
図 9: 同じ 5 項で近似したときの比較。三角波（$1/n^2$）はほぼ理想形に重なるが、矩形波（$1/n$）は不連続点付近で波打つ（ギブズ現象）。薄い線は理想波形。

まとめ

  • 矩形波は奇数次のサイン波の和で表せる
  • 三角波は奇数次のコサイン波の和で表せる
  • のこぎり波はすべての次数のサイン波の和
  • 関数が滑らかなほどフーリエ係数は速く減衰する
  • フーリエ級数から $\pi^2/6$ などの級数公式が導ける

よくある質問

Q1: 簡単な関数のフーリエ展開の例を教えてください。

A: 矩形波 $f(x) = \mathrm{sgn}(\sin x)$（$-\pi < x < \pi$）は $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \dfrac{1}{n}\sin nx$ となります。$x$ ($-\pi < x < \pi$) のフーリエ級数は $2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$ で、パーセバルの等式から $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$ が導けます。

Q2: なぜ三角波は矩形波より収束が速いのですか？

A: 関数が滑らかなほどフーリエ係数が速く減衰するためです。矩形波やのこぎり波は不連続点をもち係数が $1/n$ で減衰しますが、三角波や放物線は連続で係数が $1/n^2$ で減衰します。減衰が速いほど少ない項数で元の関数に近づくので、三角波の方が収束が速くなります。

Q3: 偶関数・奇関数のフーリエ展開はどのような形になりますか？

A: 偶関数（$f(-x) = f(x)$）は余弦のみのフーリエ余弦級数 $\dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx$ になります（$b_n = 0$）。奇関数（$f(-x) = -f(x)$）は正弦のみのフーリエ正弦級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx$ になります（$a_n = 0$）。