第18章 基本関数のテイラー展開

18.1 指数関数 $e^x$ の展開

$e^x$ のマクローリン展開
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

収束域：全実数 $(-\infty, \infty)$

導出

$f(x) = e^x$ とすると、すべての $n$ で $f^{(n)}(x) = e^x$

$f^{(n)}(0) = e^0 = 1$

よって係数は $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{1}{n!}$

応用：$e$ の計算

$x = 1$ を代入：

$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.71828...$$

18.2 三角関数の展開

$\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$
sin x のテイラー近似 sin x T₁ = x T₃ = x - x³/6

18.3 対数関数の展開

$\ln(1+x)$ のマクローリン展開
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$$

収束域：$-1 < x \leq 1$

導出

$f(x) = \ln(1+x)$ の各階微分：

  • $f(x) = \ln(1+x)$, $f(0) = 0$
  • $f'(x) = (1+x)^{-1}$, $f'(0) = 1$
  • $f''(x) = -(1+x)^{-2}$, $f''(0) = -1$
  • $f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$, $f'''(0) = 2$

一般に $f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1}(n-1)!$

18.4 二項展開

$(1+x)^\alpha$ の二項展開

任意の実数 $\alpha$ に対して（$|x| < 1$）：

$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$$

ここで一般化二項係数は：

$$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$
例：$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$
$$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \cdots$$
例：$\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$
$$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$$

18.5 展開の応用

応用：極限の計算

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$ をテイラー展開で計算：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$ より

$$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x^2} = \frac{1}{2} + O(x) \to \frac{1}{2}$$
応用：近似計算

$\sqrt{1.02}$ を計算：$\sqrt{1+x}$ で $x = 0.02$

$$\sqrt{1.02} \approx 1 + \frac{0.02}{2} - \frac{(0.02)^2}{8} = 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$$

練習問題

練習1

$\tan x$ の3次マクローリン多項式を求めよ。

練習2

テイラー展開を使って $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}$ を求めよ。

解答を見る

練習1の解答

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

練習2の解答

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\dfrac{\sin x - x}{x^3} = \dfrac{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = -\dfrac{1}{6} + O(x^2) \to -\dfrac{1}{6}$