19.1 増減の判定
増減の判定定理
区間 $I$ で $f$ が微分可能なとき：
- $f'(x) > 0$（$I$ 上）⇒ $f$ は $I$ で単調増加
- $f'(x) < 0$（$I$ 上）⇒ $f$ は $I$ で単調減少
- $f'(x) = 0$（$I$ 上）⇒ $f$ は $I$ で定数
19.2 極値の定義と判定
極値の定義
- 極大：点 $a$ の近傍で $f(x) \leq f(a)$ が成り立つとき、$f(a)$ は極大値
- 極小：点 $a$ の近傍で $f(x) \geq f(a)$ が成り立つとき、$f(a)$ は極小値
一階微分テスト
$f'(a) = 0$ のとき：
- $f'$ が $a$ で正から負に変わる ⇒ $a$ で極大
- $f'$ が $a$ で負から正に変わる ⇒ $a$ で極小
- $f'$ の符号が変わらない ⇒ $a$ は極値ではない
二階微分テスト
$f'(a) = 0$ のとき：
- $f''(a) > 0$ ⇒ $a$ で極小
- $f''(a) < 0$ ⇒ $a$ で極大
- $f''(a) = 0$ ⇒ このテストでは判定不能
19.3 増減表の作成
例：$f(x) = x^3 - 3x + 2$ の増減表
Step 1：導関数を求める
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$
Step 2：$f'(x) = 0$ の解
$x = -1, 1$
Step 3：増減表
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ | 極大 $4$ |
↘ | 極小 $0$ |
↗ |
19.4 最大値・最小値問題
閉区間での最大・最小
$f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続ならば、最大値・最小値が存在し、次の点のいずれかで達成される：
- 端点 $x = a$ または $x = b$
- 内部の極値点（$f'(x) = 0$ の点）
- $f'$ が存在しない点
例：$f(x) = x^3 - 3x$ の $[-2, 3]$ での最大・最小
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ より $x = \pm 1$
候補点での値：
- $f(-2) = -8 + 6 = -2$
- $f(-1) = -1 + 3 = 2$（極大）
- $f(1) = 1 - 3 = -2$（極小）
- $f(3) = 27 - 9 = 18$
最大値：$18$（$x=3$）、最小値：$-2$（$x=-2, 1$）
練習問題
練習1
$f(x) = x^4 - 4x^3$ の増減表を作り、極値を求めよ。
練習2
$f(x) = xe^{-x}$ の極値を求めよ。
解答を見る
練習1の解答
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$
$f'(x) = 0$ の解：$x = 0, 3$
$x = 0$ では符号が変わらず極値なし
$x = 3$ で極小、$f(3) = 81 - 108 = -27$
練習2の解答
$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$
$f'(x) = 0$ より $x = 1$
$x < 1$ で $f' > 0$、$x > 1$ で $f' < 0$
$x = 1$ で極大、$f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$