第14章高階微分

14.1 高階微分とは

高階微分の定義

関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ をさらに微分したものを二階微分といい、$f''(x)$ と書く。

同様に、$n$ 回微分したものを$n$ 階微分といい、$f^{(n)}(x)$ と書く。

表記法

一階微分：$f'(x)$, $\frac{df}{dx}$, $\frac{dy}{dx}$, $Df$
二階微分：$f''(x)$, $\frac{d^2f}{dx^2}$, $\frac{d^2y}{dx^2}$, $D^2f$
三階微分：$f'''(x)$, $\frac{d^3f}{dx^3}$
$n$ 階微分：$f^{(n)}(x)$, $\frac{d^n f}{dx^n}$

14.2 二階微分の意味

二階微分の幾何学的意味

$f''(x)$ は関数の凹凸（曲がり方）を表する。

$f''(x) > 0$：下に凸（上に開いている）、傾きが増加
$f''(x) < 0$：上に凸（下に開いている）、傾きが減少
$f''(x) = 0$：変曲点の候補

変曲点

$f''(x) = 0$ で、$f''(x)$ の符号が変わる点を変曲点という。

変曲点では曲線の凹凸が切り替わる。

14.3 高階微分の計算例

例1：$f(x) = x^4$ の高階微分

順に微分していきます：

$$f(x) = x^4$$ $$f'(x) = 4x^3$$ $$f''(x) = 12x^2$$ $$f'''(x) = 24x$$ $$f^{(4)}(x) = 24$$ $$f^{(5)}(x) = 0$$

5回以上微分するとすべて $0$ になる。

例2：$f(x) = e^x$ の高階微分

$$f(x) = e^x$$ $$f'(x) = e^x$$ $$f''(x) = e^x$$ $$f^{(n)}(x) = e^x \quad \text{（すべての $n$ で同じ）}$$

例3：$f(x) = e^{ax}$ の高階微分

$$f'(x) = ae^{ax}$$ $$f''(x) = a^2 e^{ax}$$ $$f'''(x) = a^3 e^{ax}$$ $$f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}$$

例4：$f(x) = \sin x$ の高階微分

$$f(x) = \sin x$$ $$f'(x) = \cos x$$ $$f''(x) = -\sin x$$ $$f'''(x) = -\cos x$$ $$f^{(4)}(x) = \sin x$$

4回微分すると元に戻る。一般に：

$$f^{(n)}(x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$

例5：$f(x) = \ln x$ の高階微分

$$f(x) = \ln x$$ $$f'(x) = x^{-1}$$ $$f''(x) = -x^{-2}$$ $$f'''(x) = 2x^{-3}$$ $$f^{(4)}(x) = -6x^{-4}$$

パターンを見ると：

$$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} \quad (n \geq 1)$$

14.4 ライプニッツの公式

積の $n$ 階微分に関する公式である。

ライプニッツの公式

$f(x)$, $g(x)$ が $n$ 回微分可能なとき：

$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$$

展開すると：

$$(fg)^{(n)} = f^{(n)}g + \binom{n}{1}f^{(n-1)}g' + \binom{n}{2}f^{(n-2)}g'' + \cdots + fg^{(n)}$$

証明（数学的帰納法）

$n = 1$ の場合：積の微分公式そのもの。

$$(fg)' = f'g + fg'$$

$n = k$ で成立すると仮定して、$n = k+1$ を示す。

$$(fg)^{(k+1)} = \frac{d}{dx}(fg)^{(k)} = \frac{d}{dx}\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}f^{(j)}g^{(k-j)}$$

各項を微分して整理すると、二項係数の性質 $\binom{k}{j} + \binom{k}{j-1} = \binom{k+1}{j}$ より成立。

例：$(xe^x)^{(n)}$ を求める

$f(x) = x$, $g(x) = e^x$ とする。

$f^{(0)} = x$, $f^{(1)} = 1$, $f^{(k)} = 0$ （$k \geq 2$）

$g^{(k)} = e^x$ （すべての $k$）

ライプニッツの公式より：

$$(xe^x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$$

$f^{(k)} = 0$ （$k \geq 2$）なので、$k = 0, 1$ の項だけが残ります：

$$= \binom{n}{0}x \cdot e^x + \binom{n}{1} \cdot 1 \cdot e^x$$ $$= xe^x + ne^x = (x + n)e^x$$

14.5 高階微分の応用

例：$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の極値と変曲点

一階微分

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$$

$f'(x) = 0$ より $x = 1, 3$

二階微分

$$f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$$

極値の判定（二階微分テスト）

$f''(1) = 6(1-2) = -6 < 0$ → $x = 1$ で極大
$f''(3) = 6(3-2) = 6 > 0$ → $x = 3$ で極小

変曲点

$f''(x) = 0$ より $x = 2$

$x < 2$ で $f''(x) < 0$（上に凸）、$x > 2$ で $f''(x) > 0$（下に凸）

よって $x = 2$ は変曲点。$f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$

結論

極大：$(1, 5)$ （$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$）
極小：$(3, 1)$ （$f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$）
変曲点：$(2, 3)$

二階微分テスト（極値の判定）

$f'(a) = 0$ のとき：

$f''(a) > 0$ ならば $x = a$ で極小
$f''(a) < 0$ ならば $x = a$ で極大
$f''(a) = 0$ ならばこのテストでは判定不能

14.6 高階微分公式のまとめ

基本関数の $n$ 階微分

関数	$n$ 階微分
$x^m$（$m \geq n$）	$\dfrac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax}$	$a^n e^{ax}$
$\sin x$	$\sin(x + \dfrac{n\pi}{2})$
$\cos x$	$\cos(x + \dfrac{n\pi}{2})$
$\ln x$	$\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

練習問題

練習1

次の関数の二階微分を求めよ。

$f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x$
$f(x) = e^{2x}$
$f(x) = x \ln x$

練習2

$f(x) = \sin(2x)$ の $n$ 階微分 $f^{(n)}(x)$ を求めよ。

練習3

$f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ について：

$f'(x)$, $f''(x)$ を求めよ。
極値を求めよ。
変曲点を求めよ。

練習4

ライプニッツの公式を使って $(x^2 e^x)^{(3)}$ を求めよ。

解答を見る

練習1の解答

$f'(x) = 5x^4 - 9x^2 + 2$
$f''(x) = 20x^3 - 18x$
$f'(x) = 2e^{2x}$
$f''(x) = 4e^{2x}$
$f'(x) = \ln x + 1$
$f''(x) = \frac{1}{x}$

練習2の解答

$f(x) = \sin(2x)$

$f'(x) = 2\cos(2x)$

$f''(x) = -4\sin(2x)$

$f'''(x) = -8\cos(2x)$

$f^{(4)}(x) = 16\sin(2x)$

パターンより：$f^{(n)}(x) = 2^n \sin(2x + \frac{n\pi}{2})$

練習3の解答

注意：$f(x) = (x-1)^4$

$f'(x) = 4(x-1)^3$
$f''(x) = 12(x-1)^2$
$f'(x) = 0$ より $x = 1$
$f''(1) = 0$ なので二階微分テストは使えない
$f'(x) = 4(x-1)^3$ は $x < 1$ で負、$x > 1$ で正
よって $x = 1$ で極小、極小値 $f(1) = 0$
$f''(x) = 12(x-1)^2 \geq 0$ で、$f''(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のみ
$x = 1$ の前後で符号が変わらないので変曲点なし

練習4の解答

$f = x^2$, $g = e^x$ とする。

$f^{(0)} = x^2$, $f^{(1)} = 2x$, $f^{(2)} = 2$, $f^{(3)} = 0$

$g^{(k)} = e^x$

$(x^2 e^x)^{(3)} = \binom{3}{0}x^2 e^x + \binom{3}{1}(2x)e^x + \binom{3}{2}(2)e^x + \binom{3}{3}(0)e^x$

$= x^2 e^x + 6xe^x + 6e^x = (x^2 + 6x + 6)e^x$

第14章 高階微分