第13章 陰関数微分

13.1 陽関数と陰関数

陽関数と陰関数

陽関数：$y = f(x)$ の形で表される関数

例：$y = x^2 + 3x$, $y = \sin x$

陰関数：$F(x, y) = 0$ の形で表される関係

例：$x^2 + y^2 = 1$（円）, $x^2 + xy + y^2 = 3$

陰関数は必ずしも $y = f(x)$ の形に解けるとは限りない。しかし、微分は可能である。

陽関数と陰関数の例 陽関数 y = x² 各xに対してyが一意に決まる 陰関数 x² + y² = 1 一つのxに複数のyが対応 陰関数でも、局所的には y = f(x) として扱える場合がある

13.2 陰関数微分の方法

陰関数微分の手順
  1. 方程式 $F(x, y) = 0$ の両辺を $x$ で微分する
  2. $y$ は $x$ の関数とみなし、連鎖律を適用する（$\dfrac{dy}{dx}$ が現れる）
  3. $\dfrac{dy}{dx}$ について解く
例1：円 $x^2 + y^2 = 1$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

左辺：$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}x^2 + \frac{d}{dx}y^2$

$y^2$ を微分するとき、$y$ は $x$ の関数なので連鎖律を使う：

$$\frac{d}{dx}y^2 = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$$

右辺：$\frac{d}{dx}1 = 0$

Step 2：方程式を書き下する。

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

Step 3：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$
円 x² + y² = 1 の接線 (√2/2, √2/2) 傾き = -1 (1, 0) 垂直（傾き∞） (0, 1) 水平（傾き=0） dy/dx = -x/y で各点の接線の傾きが求まる
例2：$x^2 + xy + y^2 = 7$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

$xy$ の微分には積の公式を使う：

$$\frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$$

よって：

$$2x + \left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

Step 2：整理する。

$$2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ $$x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = -2x - y$$ $$(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -(2x + y)$$

Step 3：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$$

13.3 陰関数微分の応用

例3：楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$

Step 2：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$\frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$$
例4：$e^{xy} = x + y$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

左辺：$e^{xy}$ について、$xy$ を微分すると $y + x\frac{dy}{dx}$ なので：

$$\frac{d}{dx}e^{xy} = e^{xy}\left(y + x\frac{dy}{dx}\right)$$

右辺：

$$\frac{d}{dx}(x + y) = 1 + \frac{dy}{dx}$$

Step 2：方程式を書く。

$$e^{xy}\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) = 1 + \frac{dy}{dx}$$

Step 3：展開して整理する。

$$ye^{xy} + xe^{xy}\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$$ $$xe^{xy}\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - ye^{xy}$$ $$(xe^{xy} - 1)\frac{dy}{dx} = 1 - ye^{xy}$$

Step 4：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - ye^{xy}}{xe^{xy} - 1}$$
例5：$\sin(x + y) = y^2 \cos x$ の微分

Step 1：両辺を $x$ で微分する。

左辺：

$$\frac{d}{dx}\sin(x + y) = \cos(x + y) \cdot \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$$

右辺（積の公式）：

$$\frac{d}{dx}(y^2 \cos x) = 2y\frac{dy}{dx} \cos x + y^2(-\sin x)$$

Step 2：方程式を書く。

$$\cos(x+y)\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2y\frac{dy}{dx}\cos x - y^2\sin x$$

Step 3：展開して整理する。

$$\cos(x+y) + \cos(x+y)\frac{dy}{dx} = 2y\cos x \frac{dy}{dx} - y^2\sin x$$ $$\cos(x+y)\frac{dy}{dx} - 2y\cos x \frac{dy}{dx} = -y^2\sin x - \cos(x+y)$$ $$[\cos(x+y) - 2y\cos x]\frac{dy}{dx} = -y^2\sin x - \cos(x+y)$$

Step 4：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2\sin x - \cos(x+y)}{\cos(x+y) - 2y\cos x}$$

13.4 高階微分

陰関数の二階微分も求めることができる。

例：円 $x^2 + y^2 = r^2$ の二階微分

一階微分は：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

これをさらに $x$ で微分する。商の公式を使う：

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right) = -\frac{1 \cdot y - x \cdot \frac{dy}{dx}}{y^2}$$

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ を代入します：

$$= -\frac{y - x \cdot \left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2}$$

通分します：

$$= -\frac{\frac{y^2 + x^2}{y}}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$

$x^2 + y^2 = r^2$ より：

$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{r^2}{y^3}$$

13.5 陰関数微分のまとめ

陰関数微分の手順 Step 1 両辺をxで微分 Step 2 y'を含む式を整理 Step 3 y'を求める ポイント ・yをxの関数とみなす（y = y(x)） ・y²の微分 → 2y·(dy/dx)、xyの微分 → y + x·(dy/dx)

練習問題

練習1

次の陰関数について $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

  1. $x^3 + y^3 = 6xy$
  2. $xy + y^2 = 1$
  3. $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$
練習2

楕円 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ について：

  1. $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
  2. 点 $(0, 2)$ における接線の方程式を求めよ。
練習3

$x^2 + y^2 = 25$ について、点 $(3, 4)$ における接線の方程式を求めよ。

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練習1の解答

  1. $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$
    $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$
    $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$
  2. $y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$
    $(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -y$
    $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$
  3. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2\sqrt{y}}\dfrac{dy}{dx} = 0$
    $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = -\sqrt{\dfrac{y}{x}}$

練習2の解答

  1. $\dfrac{2x}{9} + \dfrac{2y}{4}\dfrac{dy}{dx} = 0$
    $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4x}{9y}$
  2. 点 $(0, 2)$ では $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4 \cdot 0}{9 \cdot 2} = 0$
    接線は水平：$y = 2$

練習3の解答

$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ より、点 $(3, 4)$ での傾き：$-\dfrac{3}{4}$

接線：$y - 4 = -\dfrac{3}{4}(x - 3)$

整理：$y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{4} + 4 = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{4}$

または：$3x + 4y = 25$