第12章 逆三角関数の微分

12.1 逆関数の微分

逆三角関数を扱う前に、逆関数の微分の一般論を確認する。

逆関数の微分公式

$y = f(x)$ が微分可能で $f'(x) \neq 0$ のとき、逆関数 $x = f^{-1}(y)$ の微分は：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}$$

または $y$ を独立変数として $g(y) = f^{-1}(y)$ とすると：

$$g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}$$
逆関数の微分のイメージ y = f(x) x y 傾き = f'(x) 逆関数 x = f⁻¹(y) y x 傾き = 1/f'(x) グラフを y = x に関して対称にすると傾きが逆数になる

12.2 $\arcsin x$ の微分

$\arcsin x$ の定義

$y = \arcsin x$ は $\sin y = x$ かつ $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ を満たす $y$ のこと。

定義域：$-1 \leq x \leq 1$

定理
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
証明

$y = \arcsin x$ とすると、$\sin y = x$ である。

Step 1：$\sin y = x$ の両辺を $x$ で微分する。

$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$

Step 2：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

Step 3：$\cos y$ を $x$ で表する。

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$

$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ では $\cos y \geq 0$ なので：

$$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$$

Step 4：代入する。

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
y = arcsin x とその導関数 -1 1 π/2 -π/2 1 y = arcsin x y = 1/√(1-x²)

12.3 $\arccos x$ の微分

$\arccos x$ の定義

$y = \arccos x$ は $\cos y = x$ かつ $0 \leq y \leq \pi$ を満たす $y$ のこと。

定理
$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
証明

$y = \arccos x$ とすると、$\cos y = x$ である。

Step 1：$\cos y = x$ の両辺を $x$ で微分する。

$$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$

Step 2：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$

Step 3：$\sin y$ を $x$ で表する。

$\sin^2 y = 1 - \cos^2 y = 1 - x^2$

$0 \leq y \leq \pi$ では $\sin y \geq 0$ なので：$\sin y = \sqrt{1 - x^2}$

Step 4：代入する。

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$\arcsin x$ と $\arccos x$ の関係
$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

この関係から、導関数が符号だけ異なることが理解できる。

12.4 $\arctan x$ の微分

$\arctan x$ の定義

$y = \arctan x$ は $\tan y = x$ かつ $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ を満たす $y$ のこと。

定義域：$-\infty < x < \infty$（全実数）

定理
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
証明

$y = \arctan x$ とすると、$\tan y = x$ である。

Step 1：$\tan y = x$ の両辺を $x$ で微分する。

$$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$

Step 2：$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \cos^2 y$$

Step 3：$\cos^2 y$ を $x$ で表する。

$\tan y = x$ より、三角関数の関係を使う：

$$\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$$ $$\cos^2 y = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Step 4：代入する。

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
y = arctan x とその導関数 -2 2 π/2 -π/2 1 y = arctan x y = 1/(1+x²)

12.5 その他の逆三角関数

$\text{arccot}\, x$ の微分
$$\frac{d}{dx}\text{arccot}\, x = -\frac{1}{1+x^2}$$
$\text{arcsec}\, x$ の微分
$$\frac{d}{dx}\text{arcsec}\, x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \quad (|x| > 1)$$
$\text{arccsc}\, x$ の微分
$$\frac{d}{dx}\text{arccsc}\, x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \quad (|x| > 1)$$

12.6 連鎖律との組み合わせ

合成関数の公式
$$\frac{d}{dx}\arcsin(g(x)) = \frac{g'(x)}{\sqrt{1-(g(x))^2}}$$ $$\frac{d}{dx}\arctan(g(x)) = \frac{g'(x)}{1+(g(x))^2}$$
例1：$\arcsin(2x)$ の微分

$g(x) = 2x$, $g'(x) = 2$ より：

$$\frac{d}{dx}\arcsin(2x) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$$
例2：$\arctan(x^2)$ の微分

$g(x) = x^2$, $g'(x) = 2x$ より：

$$\frac{d}{dx}\arctan(x^2) = \frac{2x}{1+x^4}$$
例3：$\arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ の微分

$g(x) = \frac{x-1}{x+1}$ とおく。

商の公式より：

$$g'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$$

また、$1 - (g(x))^2$ を計算する：

$$1 - \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x+1)^2}$$ $$= \frac{(x+1+x-1)(x+1-x+1)}{(x+1)^2} = \frac{2x \cdot 2}{(x+1)^2} = \frac{4x}{(x+1)^2}$$

よって：

$$\frac{d}{dx}\arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{\frac{2}{(x+1)^2}}{\sqrt{\frac{4x}{(x+1)^2}}} = \frac{2}{(x+1)^2} \cdot \frac{x+1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}$$

12.7 逆三角関数の微分公式まとめ

逆三角関数の微分公式
関数 導関数 定義域
$\arcsin x$ $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $|x| < 1$
$\arccos x$ $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $|x| < 1$
$\arctan x$ $\dfrac{1}{1+x^2}$ 全実数
$\text{arccot}\, x$ $-\dfrac{1}{1+x^2}$ 全実数

練習問題

練習1：基本

次の関数を微分せよ。

  1. $\arcsin(3x)$
  2. $\arctan(2x)$
  3. $\arccos(x^2)$
練習2：複合

次の関数を微分せよ。

  1. $x \arctan x$
  2. $\arcsin x + \arccos x$（結果を確認せよ）
  3. $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$
練習3

$\arctan x + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$（$x > 0$）の両辺を微分して、恒等式であることを確認せよ。

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練習1の解答

  1. $\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$
  2. $\dfrac{2}{1+4x^2}$
  3. $-\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

練習2の解答

  1. $1 \cdot \arctan x + x \cdot \dfrac{1}{1+x^2} = \arctan x + \dfrac{x}{1+x^2}$
  2. $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = 0$
    これは $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$（定数）と一致
  3. $g(x) = \dfrac{1}{x}$, $g'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
    $\dfrac{d}{dx}\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} = \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}} = -\dfrac{1}{x^2+1}$

練習3の解答

左辺を微分：

$\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} = \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{x^2+1} = 0$

右辺の微分：$\dfrac{d}{dx}\dfrac{\pi}{2} = 0$

両辺とも $0$ なので恒等式であることが確認できる。