第11章 対数関数の微分

Derivatives of Logarithmic Functions

11.1 自然対数 $\ln x$ の微分

定理
$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$$
証明（逆関数の微分を使う）

$y = \ln x$ と $x = e^y$ は逆関数の関係にある。

Step 1：$x = e^y$ を $y$ で微分する。

$$\frac{dx}{dy} = e^y$$

Step 2：逆関数の微分公式より：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{e^y}$$

Step 3：$e^y = x$ なので：

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$
別証（定義から直接）
$$\frac{d}{dx}\ln x = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h}$$

Step 1：対数の性質を使いる。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\frac{x+h}{x} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)$$

Step 2：$t = \frac{h}{x}$ とおくと、$h = tx$, $h \to 0$ で $t \to 0$

$$= \lim_{t \to 0} \frac{1}{tx} \ln(1 + t) = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}$$

Step 3：$\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1$ より：

$$= \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$$
y = ln x とその導関数 y = 1/x x y 1 2 3 1 -1 y = ln x y = 1/x x=1 で ln(1)=0、傾き=1

11.2 一般の対数関数 $\log_a x$ の微分

定理

$a > 0$, $a \neq 1$ のとき：

$$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$$
証明

底の変換公式 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ を使いる。

Step 1：底を変換する。

$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$$

Step 2：$\frac{1}{\ln a}$ は定数なので：

$$\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{d}{dx}\ln x$$

Step 3：$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ を代入する。

$$= \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}$$
例：$\log_{10} x$（常用対数）の微分
$$\frac{d}{dx}\log_{10} x = \frac{1}{x \ln 10} \approx \frac{1}{2.303x} \approx \frac{0.434}{x}$$

11.3 連鎖律との組み合わせ

合成関数としての対数の微分

$g(x) > 0$ のとき：

$$\frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$
導出

$u = g(x)$ とおくと、連鎖律より：

$$\frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$
例1：$\ln(x^2 + 1)$ の微分

$g(x) = x^2 + 1$, $g'(x) = 2x$ より：

$$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$
例2：$\ln(\sin x)$ の微分

$g(x) = \sin x$, $g'(x) = \cos x$ より：

$$\frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$
例3：$\ln|x|$ の微分

$x > 0$ のとき：$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$

$x < 0$ のとき：$\ln|x| = \ln(-x)$ なので

$$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$$

よって、$x \neq 0$ のすべてで：

$$\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$$
例4：$\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の微分

$g(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}$ とおく。

$g'(x) = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}$

$$\frac{d}{dx}\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{\frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}}$$ $$= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

11.4 対数微分法

複雑な積・商・べき乗の微分を簡単にする強力な技法である。

対数微分法

$y = f(x)$ の両辺の対数をとって：

$$\ln y = \ln f(x)$$

両辺を $x$ で微分すると：

$$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\ln f(x)$$

これを $\frac{dy}{dx}$ について解く。

対数微分法の手順 Step 1 両辺の対数をとる Step 2 両辺を x で微分 Step 3 y' を求める ln y = ln f(x) y'/y = (ln f)' y' = y·(ln f)' 対数の性質で積→和、商→差、べき→係数 に変換できる
例1：$y = x^x$（$x > 0$）の微分

これは通常の公式では扱えない。対数微分法を使いる。

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$$

Step 2：両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

Step 3：$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$$
例2：$y = \frac{x^2(x+1)^3}{(x-1)^4}$ の微分

普通に商の公式を使うと非常に複雑になる。対数微分法を使おう。

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = \ln x^2 + \ln(x+1)^3 - \ln(x-1)^4$$ $$= 2\ln x + 3\ln(x+1) - 4\ln(x-1)$$

Step 2：両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{4}{x-1}$$

Step 3：$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$$\frac{dy}{dx} = y \left(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{4}{x-1}\right)$$ $$= \frac{x^2(x+1)^3}{(x-1)^4} \left(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} - \frac{4}{x-1}\right)$$
例3：$y = (\sin x)^x$ の微分

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = x \ln(\sin x)$$

Step 2：両辺を $x$ で微分します（積の公式を使用）。

$$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$= \ln(\sin x) + x \cot x$$

Step 3：$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x \left(\ln(\sin x) + x \cot x\right)$$

11.5 $x^{\alpha}$（一般べき）の証明

入門編で $x^\alpha$ の微分公式を紹介しましたが、対数微分法で厳密に証明できる。

定理

任意の実数 $\alpha$ に対して（$x > 0$）：

$$\frac{d}{dx}x^\alpha = \alpha x^{\alpha - 1}$$
証明（対数微分法）

$y = x^\alpha$ とおく。

Step 1：両辺の対数をとる。

$$\ln y = \alpha \ln x$$

Step 2：両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \alpha \cdot \frac{1}{x}$$

Step 3：$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}$$

11.6 対数関数の微分公式まとめ

対数関数の微分公式
関数 導関数
$\ln x$ $\dfrac{1}{x}$
$\ln|x|$ $\dfrac{1}{x}$（$x \neq 0$）
$\ln(g(x))$ $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$
$\log_a x$ $\dfrac{1}{x \ln a}$
$\log_a(g(x))$ $\dfrac{g'(x)}{g(x) \ln a}$
対数微分法が有効な場合
  • $x^{f(x)}$ のような形（底と指数の両方が変数）
  • 多数の因数の積・商
  • 複雑なべき乗の組み合わせ

練習問題

練習1：基本

次の関数を微分せよ。

  1. $\ln(3x)$
  2. $\ln(x^2 - 1)$
  3. $\ln(\cos x)$
  4. $\log_2 x$
練習2：対数微分法

対数微分法を使って次の関数を微分せよ。

  1. $y = x^{\sin x}$
  2. $y = (x^2 + 1)^x$
  3. $y = \dfrac{x(x+1)}{(x+2)(x+3)}$
練習3

$f(x) = x \ln x$ について：

  1. $f'(x)$ を求めよ。
  2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めよ。
  3. $f(x)$ の極値を求めよ。
解答を見る

練習1の解答

  1. $\dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}$
  2. $\dfrac{2x}{x^2-1}$
  3. $\dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$
  4. $\dfrac{1}{x \ln 2}$

練習2の解答

  1. $\ln y = \sin x \cdot \ln x$
    $\frac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$
    $y' = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$
  2. $\ln y = x \ln(x^2+1)$
    $\frac{y'}{y} = \ln(x^2+1) + x \cdot \frac{2x}{x^2+1}$
    $y' = (x^2+1)^x\left(\ln(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1}\right)$
  3. $\ln y = \ln x + \ln(x+1) - \ln(x+2) - \ln(x+3)$
    $\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$
    $y' = \frac{x(x+1)}{(x+2)(x+3)}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right)$

練習3の解答

  1. $f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
  2. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}$
  3. $x < \frac{1}{e}$ で $f'(x) < 0$（減少）、$x > \frac{1}{e}$ で $f'(x) > 0$（増加）
    よって $x = \frac{1}{e}$ で極小
    極小値：$f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \ln\frac{1}{e} = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$