第8章 合成関数の微分（連鎖律）

Chain Rule

8.1 合成関数とは

関数の中に関数が入っている形を合成関数といいる。

合成関数の定義

2つの関数 $f$ と $g$ の合成関数は：

$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$

「$g$ の結果を $f$ に入れる」という操作である。

合成関数のイメージ x g g(x) f f(g(x)) f ∘ g
例：合成関数の具体例

$f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ のとき：

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$$ $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 1$$

注意：$f \circ g \neq g \circ f$ 一般に順序を入れ替えると結果が変わる。

例：合成関数の分解

$h(x) = (x^2 + 3x)^5$ を分解すると：

  • 内側の関数：$g(x) = x^2 + 3x$（中身）
  • 外側の関数：$f(u) = u^5$（外の形）
  • $h(x) = f(g(x)) = (g(x))^5$

8.2 連鎖律（Chain Rule）

定理（連鎖律）

$y = f(u)$, $u = g(x)$ で、$g$ が $x$ で微分可能、$f$ が $g(x)$ で微分可能なら：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

または関数の記法で：

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

言葉で言うと：「外側の微分」×「内側の微分」

証明

微分の定義から始める。$h(x) = f(g(x))$ とおくと：

$$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}$$

Step 1：$\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)$ とおく。

$\Delta x \to 0$ のとき $\Delta u \to 0$（$g$ は連続だから）。

Step 2：$\Delta u \neq 0$ の場合、式を変形する。

$$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$

Step 3：極限を分離する。

$$= \lim_{\Delta u \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$$

Step 4：各極限は微分の定義そのものである。

$$= f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
連鎖律の視覚的理解 x g'(x) u = g(x) f'(u) y = f(u) dy/dx = (dy/du) × (du/dx) = f'(g(x)) × g'(x) 連鎖律：xの変化 → uの変化 → yの変化 変化率は掛け算で伝播する

8.3 連鎖律の適用例

例1：$(x^2 + 1)^3$ の微分

内側：$u = g(x) = x^2 + 1$, 外側：$y = f(u) = u^3$

Step 1：外側を微分（$u$ で微分）

$$\frac{dy}{du} = 3u^2$$

Step 2：内側を微分（$x$ で微分）

$$\frac{du}{dx} = 2x$$

Step 3：連鎖律を適用

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 2x$$

Step 4：$u$ を元に戻す

$$= 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$$
例2：$\sqrt{x^3 + 2x}$ の微分

$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$, $u = x^3 + 2x$

Step 1：外側を微分

$$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Step 2：内側を微分

$$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 2$$

Step 3：連鎖律を適用

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (3x^2 + 2)$$

Step 4：$u$ を元に戻す

$$= \frac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3 + 2x}}$$
例3：$\frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ の微分

$y = u^{-2}$, $u = x^2 + 1$

Step 1：外側を微分

$$\frac{dy}{du} = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}$$

Step 2：内側を微分

$$\frac{du}{dx} = 2x$$

Step 3：連鎖律を適用

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{u^3} \cdot 2x = -\frac{4x}{(x^2 + 1)^3}$$

8.4 連鎖律の一般形

一般のべき乗の微分

$[g(x)]^n$ の微分は：

$$\frac{d}{dx}[g(x)]^n = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$$
導出

$f(u) = u^n$, $u = g(x)$ として連鎖律を適用：

$$\frac{d}{dx}[g(x)]^n = f'(g(x)) \cdot g'(x) = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$$
一般べき乗則の公式 d/dx [g(x)]ⁿ = n·[g(x)]ⁿ⁻¹·g'(x) 「前に指数を出して、指数を1減らして、中身を微分」 例：(x²+1)³ → 3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)² ↑前に出す ↑1減る ↑中身の微分

8.5 多重合成関数

3つ以上の関数の合成にも連鎖律は適用できる。

多重連鎖律

$y = f(g(h(x)))$ のとき：

$$\frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

または：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$$

（$u = g(v)$, $v = h(x)$ として）

例：$y = \sqrt{(x^2+1)^3}$ の微分

3層の合成関数：

  • 最内層：$v = x^2 + 1$
  • 中間層：$u = v^3$
  • 最外層：$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$

Step 1：各層を微分

  • $\dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{2}u^{-1/2}$
  • $\dfrac{du}{dv} = 3v^2$
  • $\dfrac{dv}{dx} = 2x$

Step 2：連鎖律を適用

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot 3v^2 \cdot 2x$$

Step 3：元の変数に戻す

$$= \frac{1}{2}(v^3)^{-1/2} \cdot 3v^2 \cdot 2x$$ $$= \frac{1}{2} \cdot v^{-3/2} \cdot 3v^2 \cdot 2x$$ $$= 3x \cdot v^{-3/2+2} = 3x \cdot v^{1/2}$$ $$= 3x\sqrt{x^2+1}$$

8.6 連鎖律と他の規則の組み合わせ

例1：$y = x^2(x+1)^3$ の微分

積の公式と連鎖律を組み合わせる。

$f(x) = x^2$, $g(x) = (x+1)^3$ とすると：

各部分の微分

  • $f'(x) = 2x$
  • $g'(x) = 3(x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$（連鎖律）

積の公式を適用

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$= 2x(x+1)^3 + x^2 \cdot 3(x+1)^2$$ $$= (x+1)^2[2x(x+1) + 3x^2]$$ $$= (x+1)^2(2x^2 + 2x + 3x^2)$$ $$= (x+1)^2(5x^2 + 2x)$$ $$= x(x+1)^2(5x + 2)$$
例2：$y = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^3}$ の微分

商の公式と連鎖律を組み合わせる。

$f(x) = (x-1)^2$, $g(x) = (x+1)^3$ とすると：

各部分の微分

  • $f'(x) = 2(x-1)$
  • $g'(x) = 3(x+1)^2$

商の公式を適用

$$y' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ $$= \frac{2(x-1)(x+1)^3 - (x-1)^2 \cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6}$$

共通因数をくくり出す

分子の共通因数は $(x-1)(x+1)^2$ です：

$$= \frac{(x-1)(x+1)^2[2(x+1) - 3(x-1)]}{(x+1)^6}$$ $$= \frac{(x-1)[2x+2-3x+3]}{(x+1)^4}$$ $$= \frac{(x-1)(5-x)}{(x+1)^4}$$ $$= -\frac{(x-1)(x-5)}{(x+1)^4}$$

8.7 連鎖律のまとめ

連鎖律の適用手順 Step 1 内側と外側を識別 Step 2 外側を先に微分 Step 3 内側を微分して掛ける 例：(x² + 3x)⁵ を微分 1. 内側：g(x) = x² + 3x、外側：f(u) = u⁵ 2. 外側を微分：f'(u) = 5u⁴ → 5(x² + 3x)⁴ 3. 内側の微分 g'(x) = 2x + 3 を掛ける 結果：5(x² + 3x)⁴(2x + 3)

練習問題

練習1：基本的な連鎖律

次の関数を微分せよ。

  1. $(2x+1)^4$
  2. $(x^3-1)^5$
  3. $\sqrt{3x+2}$
  4. $\dfrac{1}{(x^2+1)^3}$
練習2：複合的な問題

次の関数を微分せよ。

  1. $x(x+1)^4$
  2. $(x-1)^2(x+2)^3$
  3. $\dfrac{x}{(x+1)^2}$
練習3：多重合成

$y = ((x+1)^2 + 1)^3$ を微分せよ。

解答を見る

練習1の解答

  1. $4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3$
  2. $5(x^3-1)^4 \cdot 3x^2 = 15x^2(x^3-1)^4$
  3. $\dfrac{1}{2}(3x+2)^{-1/2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}$
  4. $-3(x^2+1)^{-4} \cdot 2x = -\frac{6x}{(x^2+1)^4}$

練習2の解答

  1. 積の公式より：
    $= 1 \cdot (x+1)^4 + x \cdot 4(x+1)^3$
    $= (x+1)^3[(x+1) + 4x] = (x+1)^3(5x+1)$
  2. 積の公式より：
    $= 2(x-1)(x+2)^3 + (x-1)^2 \cdot 3(x+2)^2$
    $= (x-1)(x+2)^2[2(x+2) + 3(x-1)]$
    $= (x-1)(x+2)^2(5x+1)$
  3. 商の公式より：
    $= \frac{1 \cdot (x+1)^2 - x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}$
    $= \frac{(x+1) - 2x}{(x+1)^3} = \frac{1-x}{(x+1)^3}$

練習3の解答

$u = (x+1)^2 + 1$ とおくと $y = u^3$

$\dfrac{dy}{du} = 3u^2$

$\dfrac{du}{dx} = 2(x+1)$

よって：

$\dfrac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 2(x+1) = 6(x+1)[(x+1)^2+1]^2$