第7章 積と商の微分

Product and Quotient Rules

7.1 積の微分公式

2つの関数の積を微分するとき、単純に各関数の微分の積にはならない。

定理（積の微分公式・ライプニッツ則）

$f(x)$ と $g(x)$ が微分可能なとき：

$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

または、$u = f(x)$, $v = g(x)$ と書くと：

$$(uv)' = u'v + uv'$$
証明

微分の定義から始める：

$$(f(x)g(x))' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$

Step 1：分子に巧妙な項を加え引く（$f(x+h)g(x)$ を追加）。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)}{h}$$

Step 2：共通因数でまとめる。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h) - g(x)) + g(x)(f(x+h) - f(x))}{h}$$

Step 3：和を分ける。

$$= \lim_{h \to 0} \left[ f(x+h) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x) \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right]$$

Step 4：各極限を計算する。

  • $\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)$（$f$ は連続）
  • $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$
  • $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)$

Step 5：結果をまとめる。

$$(f(x)g(x))' = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
積の微分の視覚化 f(x)·g(x) g(x) f(x) 微分 f'·g + f·g' 積の微分 = (一方を微分) × (他方をそのまま) の和 (fg)' = f'g + fg'
例1：$h(x) = x^2 \cdot x^3$ の微分（2通りの方法）

方法1：積の公式を使う

$f(x) = x^2$, $g(x) = x^3$ とすると、$f'(x) = 2x$, $g'(x) = 3x^2$

$$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$= 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2$$ $$= 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$$

方法2：先に整理してから微分

$$h(x) = x^2 \cdot x^3 = x^5$$ $$h'(x) = 5x^4$$

どちらも同じ結果になる。

例2：$h(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)$ の微分

$f(x) = x^2 + 1$, $g(x) = x^3 - 2x$ とする。

$f'(x) = 2x$, $g'(x) = 3x^2 - 2$

$$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$= 2x(x^3 - 2x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 2)$$ $$= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2$$ $$= 5x^4 - 3x^2 - 2$$
例3：3つの関数の積

$h(x) = f(x)g(x)k(x)$ の微分は、積の公式を繰り返し適用する。

$(fgk)' = ((fg)k)' = (fg)'k + (fg)k'$

$= (f'g + fg')k + fgk'$

$= f'gk + fg'k + fgk'$

一般に：

$$(f_1 f_2 \cdots f_n)' = f'_1 f_2 \cdots f_n + f_1 f'_2 \cdots f_n + \cdots + f_1 f_2 \cdots f'_n$$

7.2 商の微分公式

定理（商の微分公式）

$f(x)$ と $g(x)$ が微分可能で、$g(x) \neq 0$ のとき：

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

または：

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
証明

微分の定義から始める：

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$$

Step 1：分子を通分する。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}$$

Step 2：分子に $f(x)g(x)$ を加え引く。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x)}{h \cdot g(x+h)g(x)}$$

Step 3：項をまとめる。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)(f(x+h) - f(x)) - f(x)(g(x+h) - g(x))}{h \cdot g(x+h)g(x)}$$

Step 4：分けて整理する。

$$= \lim_{h \to 0} \frac{g(x) \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f(x) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x+h)g(x)}$$

Step 5：極限を計算する。

$$= \frac{g(x) \cdot f'(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x) \cdot g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$
商の微分公式の覚え方 ( f g )' = f'g - fg' g² 覚え方：「ロー・ディ・ハイ　マイナス　ハイ・ディ・ロー　オーバー　ロー・スクエアド」 (Low D High - High D Low) / Low² ※英語圏での覚え方。D=微分、Low=分母、High=分子
例1：$h(x) = \frac{x^2}{x + 1}$ の微分

$f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$ とする。

$f'(x) = 2x$, $g'(x) = 1$

$$h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$ $$= \frac{2x(x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2}$$ $$= \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2}$$ $$= \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$$ $$= \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$$
例2：$h(x) = \frac{1}{x}$ の微分（商の公式で確認）

$f(x) = 1$, $g(x) = x$ とする。

$f'(x) = 0$, $g'(x) = 1$

$$h'(x) = \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = \frac{-1}{x^2}$$

これは $x^{-1}$ の微分が $-x^{-2}$ であることと一致する。

例3：$h(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$ の微分

$f(x) = x^3 - 1$, $g(x) = x^2 + 1$ とする。

$f'(x) = 3x^2$, $g'(x) = 2x$

$$h'(x) = \frac{3x^2(x^2 + 1) - (x^3 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$

分子を展開すると：

$$= \frac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ $$= \frac{x^4 + 3x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ $$= \frac{x(x^3 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$$

7.3 特殊な場合

$\dfrac{1}{g(x)}$ の微分

$g(x) \neq 0$ のとき：

$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)' = -\frac{g'(x)}{(g(x))^2}$$
証明

商の公式で $f(x) = 1$ とすると、$f'(x) = 0$ なので：

$$\left(\frac{1}{g}\right)' = \frac{0 \cdot g - 1 \cdot g'}{g^2} = -\frac{g'}{g^2}$$
例：$h(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ の微分

$g(x) = x^2 + 1$, $g'(x) = 2x$ より：

$$h'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$

7.4 積と商の組み合わせ

例：$h(x) = \frac{x(x-1)}{x+1}$ の微分

方法1：そのまま商の公式を適用

分子を $f(x) = x(x-1) = x^2 - x$, 分母を $g(x) = x+1$ とする。

$f'(x) = 2x - 1$, $g'(x) = 1$

$$h'(x) = \frac{(2x-1)(x+1) - (x^2-x)(1)}{(x+1)^2}$$

分子を展開すると：

$$(2x-1)(x+1) = 2x^2 + 2x - x - 1 = 2x^2 + x - 1$$ $$h'(x) = \frac{2x^2 + x - 1 - x^2 + x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2}$$

方法2：分子を展開してから微分

$h(x) = \frac{x^2 - x}{x+1}$ として同様に計算すると、同じ結果が得られる。

7.5 公式のまとめ

積と商の微分公式
形 公式
積 $(fg)'$ $f'g + fg'$
商 $\left(\frac{f}{g}\right)'$ $\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
逆数 $\left(\frac{1}{g}\right)'$ $-\dfrac{g'}{g^2}$
積の微分 (fg)' = f'g + fg' 商の微分 (f/g)' = (f'g - fg')/g² どちらも「一方を微分して他方をそのまま」のパターン 積は + で結び、商は - で結んで分母に g² を置く

練習問題

練習1：積の微分

次の関数を微分せよ。

  1. $f(x) = (x+2)(x-3)$
  2. $f(x) = (x^2+1)(x^3-x)$
  3. $f(x) = x^2(x+1)^2$（ヒント：$(x+1)^2 = x^2+2x+1$）
練習2：商の微分

次の関数を微分せよ。

  1. $f(x) = \frac{x}{x+1}$
  2. $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}$
  3. $f(x) = \frac{x^3}{x-1}$
練習3：応用

$f(x) = \frac{x^2+1}{x}$ を微分し、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めよ。

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練習1の解答

  1. $f'(x) = 1 \cdot (x-3) + (x+2) \cdot 1 = x-3+x+2 = 2x-1$
  2. $f'(x) = 2x(x^3-x) + (x^2+1)(3x^2-1)$
    $= 2x^4-2x^2 + 3x^4-x^2+3x^2-1 = 5x^4-1$
  3. $(x+1)^2 = x^2+2x+1$ より
    $f'(x) = 2x(x^2+2x+1) + x^2(2x+2)$
    $= 2x^3+4x^2+2x + 2x^3+2x^2 = 4x^3+6x^2+2x = 2x(2x^2+3x+1)$

練習2の解答

  1. $f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$
  2. $f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2}$
    $= \frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$
  3. $f'(x) = \frac{3x^2(x-1) - x^3 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{3x^3-3x^2-x^3}{(x-1)^2} = \frac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}$

練習3の解答

$f(x) = \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}$ と変形できるので：

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x^2 - 1 = 0$ より $x = \pm 1$