第6章微分の意味

Meaning of Derivative

6.1 微分が表すもの：変化の速さ

微分とは、関数の「瞬間的な変化の速さ」を表す量である。この章では、微分の意味を様々な観点から深く理解する。

微分の本質

$f'(x)$ は、$x$ における $f(x)$ の瞬間変化率を表す。

$f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ はそこで増加している
$f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ はそこで減少している
$f'(x) = 0$ ならば、$f(x)$ はそこで変化していない（一時停止）

6.2 速度と微分

物理学において、微分の最も基本的な応用は「速度」である。

速度の定義

位置 $x(t)$ が時刻 $t$ の関数として与えられるとき：

平均速度：$\displaystyle \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$（時間区間 $[t_1, t_2]$ での）
瞬間速度：$\displaystyle v(t) = \frac{dx}{dt} = x'(t)$

例：落下運動

地上から自由落下する物体の位置は：

$$x(t) = \frac{1}{2}gt^2$$

ここで $g \approx 9.8 \, \text{m/s}^2$ は重力加速度である。

速度を求める

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}gt^2\right) = \frac{1}{2}g \cdot 2t = gt$$

解釈

$t = 0$ のとき：$v(0) = 0$（静止状態から落下開始）
$t = 1$ 秒のとき：$v(1) = 9.8$ m/s
$t = 2$ 秒のとき：$v(2) = 19.6$ m/s

速度は時間に比例して増加する。

6.3 加速度と二階微分

速度の変化率が「加速度」である。これは位置の二階微分になる。

加速度の定義

速度 $v(t) = x'(t)$ が与えられたとき：

$$\text{加速度} = a(t) = \frac{dv}{dt} = v'(t) = x''(t)$$

例：等加速度運動

位置が $x(t) = 3t^2 + 2t + 1$ で与えられるとき：

速度

$$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 1) = 6t + 2$$

加速度

$$a(t) = v'(t) = x''(t) = \frac{d}{dt}(6t + 2) = 6$$

解釈

加速度は $6$ で一定（等加速度運動）
初速度は $v(0) = 2$
初期位置は $x(0) = 1$

6.4 増減と極値

微分を使うと、関数がどこで増加し、どこで減少するかを調べることができる。

増減の判定

ある区間で $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で単調増加。

ある区間で $f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で単調減少。

極値の定義

極大：$f'(x) = 0$ で、その前後で $f'$ が正から負に変わる点

極小：$f'(x) = 0$ で、その前後で $f'$ が負から正に変わる点

例：$f(x) = x^3 - 3x$ の増減

Step 1：導関数を求める。

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)$$

Step 2：$f'(x) = 0$ となる点を求める。

$$3(x+1)(x-1) = 0$$ $$x = -1 \text{ または } x = 1$$

Step 3：各区間での符号を調べる。

$x$	$x < -1$	$x = -1$	$-1 < x < 1$	$x = 1$	$x > 1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	極大	↘	極小	↗

Step 4：極値を計算する。

極大値：$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$
極小値：$f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

6.5 接線の方程式

微分を使うと、曲線上の任意の点における接線の方程式を求めることができる。

接線の方程式

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式は：

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

または

$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

導出

接線は点 $(a, f(a))$ を通り、傾き $f'(a)$ の直線である。

点 $(x_0, y_0)$ を通り傾き $m$ の直線の方程式は：

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

これに $x_0 = a$, $y_0 = f(a)$, $m = f'(a)$ を代入すると：

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

例：$f(x) = x^2$ の $x = 2$ における接線

Step 1：導関数を求める。

$$f'(x) = 2x$$

Step 2：$x = 2$ での値を計算する。

$$f(2) = 2^2 = 4$$ $$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Step 3：接線の方程式を作る。

$$y - 4 = 4(x - 2)$$ $$y = 4x - 8 + 4$$ $$y = 4x - 4$$

6.6 線形近似

微分は、関数を直線で近似することにも使える。

線形近似

$x$ が $a$ に十分近いとき：

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

これを線形近似（または一次近似）という。

例：$\sqrt{4.1}$ の近似計算

$f(x) = \sqrt{x}$、$a = 4$、$x = 4.1$ として計算する。

Step 1：必要な値を計算する。

$$f(4) = \sqrt{4} = 2$$ $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$$

Step 2：線形近似公式を適用する。

$$\sqrt{4.1} \approx f(4) + f'(4)(4.1 - 4)$$ $$= 2 + \frac{1}{4} \times 0.1$$ $$= 2 + 0.025 = 2.025$$

検証：電卓で計算すると $\sqrt{4.1} \approx 2.0248...$

線形近似の結果 $2.025$ は非常に良い近似である。

6.7 この章のまとめ

微分の意味のまとめ

観点	$f'(x)$ の意味
幾何学	接線の傾き
物理学	瞬間変化率（速度など）
解析学	関数の増減の指標
近似	線形近似の係数

練習問題

練習1

物体の位置が $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ で与えられるとき：

速度 $v(t)$ を求めよ。
加速度 $a(t)$ を求めよ。
速度が $0$ になる時刻を求めよ。

練習2

$f(x) = x^3 - 12x + 5$ について：

$f'(x)$ を求めよ。
$f(x)$ の極大値と極小値を求めよ。

練習3

$f(x) = x^3$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。

練習4

線形近似を使って $\sqrt{9.2}$ の近似値を求めよ。

解答を見る

練習1の解答

$v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t^2 - 4t + 3) = 3(t-1)(t-3)$
$a(t) = v'(t) = 6t - 12$
$v(t) = 0$ のとき $(t-1)(t-3) = 0$ より $t = 1$ または $t = 3$

練習2の解答

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x+2)(x-2)$
$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2, 2$
- $x = -2$：$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21$（極大値）
- $x = 2$：$f(2) = 2^3 - 12(2) + 5 = 8 - 24 + 5 = -11$（極小値）

練習3の解答

$f'(x) = 3x^2$ より $f'(1) = 3$

$f(1) = 1$

接線：$y - 1 = 3(x - 1)$ つまり $y = 3x - 2$

練習4の解答

$f(x) = \sqrt{x}$、$a = 9$、$x = 9.2$ とする。

$f(9) = 3$、$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ より $f'(9) = \frac{1}{6}$

$\sqrt{9.2} \approx 3 + \frac{1}{6}(0.2) = 3 + \frac{0.2}{6} = 3 + \frac{1}{30} \approx 3.0333$

（実際の値は約 $3.0332$）