第3章 極限の直感
「限りなく近づく」という考え方
3.1 極限とは
前章で、接線の傾きを求めるために「$h \to 0$」という表現を使いた。これは極限という概念である。
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ とは：
「$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ は $L$ に限りなく近づく」
重要なポイント：$x$ は $a$ に近づくのであって、$a$ に到達するわけではない。
3.2 数列の極限
極限を理解するために、まず数列の極限を考えよう。
例：1/n の極限
数列 $a_n = \dfrac{1}{n}$ を考える。
| n | 1 | 2 | 10 | 100 | 1000 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $a_n = 1/n$ | 1 | 0.5 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | ... |
$n$ が大きくなるにつれて、$a_n$ は0に限りなく近づく。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$$\dfrac{1}{n}$ は 0 に近づくが、決して 0 に到達しない。
どんなに大きな $n$ をとっても、$\dfrac{1}{n} > 0$ である。
3.3 関数の極限
数列の極限を理解したところで、関数の極限を考える。
例1：簡単な極限
$$\lim_{x \to 2} (x + 3)$$$x$ が 2 に近づくとき、$x + 3$ はどうなるだろうか。
| x | 1.9 | 1.99 | 1.999 | → | 2.001 | 2.01 | 2.1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 3 | 4.9 | 4.99 | 4.999 | → 5 | 5.001 | 5.01 | 5.1 |
明らかに、$x + 3$ は 5 に近づく。
$$\lim_{x \to 2} (x + 3) = 5$$例2：少し複雑な極限
$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$ここで問題がある。$x = 2$ を代入すると：
$$\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$$$\dfrac{0}{0}$ は不定形と呼ばれ、このままでは値が決まりない。
しかし、極限は「$x = 2$ での値」ではなく、「$x$ が 2 に近づくときの値」である。
Step 1：分子を因数分解する
$$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$$Step 2：約分する（$x \neq 2$ のとき）
$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x + 2 \quad (x \neq 2)$$Step 3：極限をとる
$$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$$グラフを見ると、$x = 2$ では関数は定義されていないが、$x$ が 2 に近づくと、関数値は 4 に近づく。
3.4 極限の計算法則
極限には便利な計算法則がある。
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$、$\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M$ のとき：
1. 和の法則
$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$$2. 差の法則
$$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$$3. 積の法則
$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$4. 商の法則（$M \neq 0$ のとき）
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$$5. 定数倍の法則
$$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$$3.5 $h \to 0$ の極限
微分で使う極限は、特に $h \to 0$ の形をしている。
例：微分で現れる極限
$f(x) = x^2$ の導関数を求めるとき、次の極限を計算しました：
$$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$$Step 1：$(x+h)^2$ を展開する
$$(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$$Step 2：分子を計算する
$$(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$$Step 3：$h$ で割る
$$\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h}$$Step 4：分子を $h$ で因数分解する
$$\frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \quad (h \neq 0)$$Step 5：$h \to 0$ の極限をとる
$$\lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x + 0 = 2x$$したがって、$(x^2)' = 2x$ である。
3.6 極限が存在しない場合
すべての極限が存在するわけではない。
例1：発散（無限大に向かう）
$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$$$x$ が 0 に近づくと、$\dfrac{1}{x^2}$ は限りなく大きくなる。
この場合、$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ と書く。
例2：振動（値が定まらない）
$$\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$$x$ が 0 に近づくと、$\dfrac{1}{x}$ は限りなく大きくなり、$\sin$ の値は $-1$ と $1$ の間で激しく振動する。
- 発散する（$\pm\infty$ に向かう）
- 振動する（一定の値に定まらない）
- 左極限と右極限が異なる
3.7 片側極限
これまで見てきた極限では、$x$ は $a$ に両側から近づいていた。しかし、片側からだけ近づく極限を考えることもできる。
右極限（右から近づく）：
$$\lim_{x \to a^+} f(x) \quad \text{または} \quad \lim_{x \to a+0} f(x)$$$x$ が $a$ より大きい側から $a$ に近づくときの極限。
左極限（左から近づく）：
$$\lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{または} \quad \lim_{x \to a-0} f(x)$$$x$ が $a$ より小さい側から $a$ に近づくときの極限。
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ が存在するための必要十分条件は：
$$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$すなわち、左極限と右極限が一致することである。
例：左極限と右極限が異なる場合
符号関数 $\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & (x > 0) \\ 0 & (x = 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases}$ を考える。
この場合：
$$\lim_{x \to 0^-} \text{sgn}(x) = -1, \quad \lim_{x \to 0^+} \text{sgn}(x) = 1$$左極限と右極限が異なるため、$\displaystyle\lim_{x \to 0} \text{sgn}(x)$ は存在しない。
- 微分可能性の判定（第4章で学ぶ $|x|$ の例）
- 不連続点の分類
- $\ln x$、$\sqrt{x}$ など定義域が制限された関数
この章のまとめ
- 極限：$x$ が $a$ に近づくときの関数値の行き先
- $x = a$ での値とは別物（到達ではなく接近）
- 極限の法則：和・差・積・商の極限は普通に計算できる
- $\dfrac{0}{0}$ の不定形は因数分解などで解消する
- 微分では $h \to 0$ の極限を使う
- 極限が存在しない場合もある（発散・振動）
- 片側極限：$\displaystyle\lim_{x \to a^+}$（右極限）、$\displaystyle\lim_{x \to a^-}$（左極限）
- 極限が存在する ⇔ 左極限と右極限が一致する