第4章 微分の定義
微分係数と導関数
4.1 微分係数の定義
これまでの準備を踏まえて、いよいよ微分を正式に定義する。
関数 $f(x)$ の $x = a$ における微分係数（びぶんけいすう）は、次の極限で定義される：
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$この極限が存在するとき、$f(x)$ は $x = a$ で微分可能であるという。
図1のように、微分係数 $f'(a)$ は曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きを表す。
別の書き方
$x = a + h$ と置き換えることで（$h \to 0$ のとき $x \to a$）、微分係数は次のように書くこともできる
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$4.2 導関数の定義
$a$ という特定の点だけではなく、変数 $x$ での微分係数 $f'(x)$ を与える関数として、導関数が定義される。
関数 $f(x)$ の導関数（どうかんすう）は：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$導関数 $f'(x)$ は、元の関数 $f(x)$ の「各点 $x$ での接線の傾き = 変化率」を表す新しい関数である。傾きが急であるほど $x$ を動かした時の変化が大きい。
- $f(x)$ が「位置」なら、$f'(x)$ は「速度」
- $f(x)$ が「量」なら、$f'(x)$ は「増加率」
- $f(x)$ がグラフなら、$f'(x)$ は「各点での傾き」
4.3 微分の記号
微分にはいくつかの記号が使われる。すべて同じ意味である。
| 記号 | 読み方 | 特徴 |
|---|---|---|
| $f'(x)$ | エフ・プライム・エックス | ラグランジュの記法。最も一般的 |
| $\dfrac{df}{dx}$ | ディーエフ・ディーエックス | ライプニッツの記法。分数のように扱える |
| $\dfrac{dy}{dx}$ | ディーワイ・ディーエックス | $y = f(x)$ のとき。変化率の意味が明確 |
| $\dfrac{d}{dx}f(x)$ | ディー・ディーエックス・エフエックス | 「微分演算子」として捉える記法 |
| $\dot{y}$ | ワイ・ドット | ニュートンの記法。時間微分で使用 |
$\dfrac{dy}{dx}$ は分数のように見えるが、$dy$ と $dx$ を別々に取り出して割り算しているわけではない。これは
$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$という極限操作全体を表す一つの記号である。$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ は確かに分数（変化量の比）だが、$\Delta x \to 0$ の極限を取った後の $\dfrac{dy}{dx}$ は、もはや「何かを何かで割った商」ではなく、極限値そのものを意味する。
しかし、合成関数の微分（連鎖律）では
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$のように、あたかも $du$ を約分したかのように書ける。置換積分でも $dx = \dfrac{dx}{du} \, du$ と分数のように扱える。このように計算上は分数と同じ規則が成り立つことが多いのが、ライプニッツ記法の大きな利点である。
4.4 微分可能であること
すべての関数が微分可能というわけではない。
関数 $f(x)$ が $x = a$ で微分可能であるとは、
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$が存在する（有限の値をとる）ことである。
微分可能でない例：尖った点
$f(x) = |x|$ を考える。$x = 0$ での微分係数を調べてみよう。
左からの極限（$h < 0$ のとき）：
$$\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$$右からの極限（$h > 0$ のとき）：
$$\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = +1$$左極限 $(-1)$ と右極限 $(+1)$ が一致しないので、極限は存在しない。
したがって、$f(x) = |x|$ は $x = 0$ で微分可能でない。
$f(x)$ が $x = a$ で微分可能ならば、$f(x)$ は $x = a$ で連続である。
（逆は成り立たない：連続でも微分可能とは限らない）
4.5 具体例の計算
例1：定数関数 $f(x) = c$
Step 1：定義に従って式を立てる
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$Step 2：$f(x+h)$ と $f(x)$ を代入する
$f(x)$ は定数だから $f(x) = f(x+h) = c$。よって：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$結論：$f'(x) = 0$
例2：一次関数 $f(x) = mx + n$
Step 1：$f(x+h)$ を計算する
$$f(x+h) = m(x+h) + n = mx + mh + n$$Step 2：$f(x+h) - f(x)$ を計算する
$$f(x+h) - f(x) = (mx + mh + n) - (mx + n) = mh$$Step 3：$h$ で割る
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{mh}{h} = m \quad (h \neq 0)$$Step 4：極限をとる
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} m = m$$結論：$f'(x) = m$
一次関数の導関数は、元の関数の傾き $m$ になり、直感と一致する。
例3：二次関数 $f(x) = x^2$
Step 1：$f(x+h)$ を展開する
$$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$$Step 2：$f(x+h) - f(x)$ を計算する
$$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2) - x^2 = 2xh + h^2$$Step 3：$h$ で割る
$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \quad (h \neq 0)$$Step 4：極限をとる
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$結論：$(x^2)' = 2x$
この章のまとめ
- 微分係数 $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$（点 $a$ での接線の傾きを表す定数）
- 導関数 $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$（各点 $x$ での傾きを表す関数）
- 記号：$f'(x)$、$\dfrac{df}{dx}$、$\dfrac{dy}{dx}$ など
- 微分可能：極限が存在すること
- 基本公式：$(c)' = 0$、$(mx + n)' = m$、$(x^2)' = 2x$