第5章 証明を読んでみよう
入門（高校〜大学1年レベル）
5.1 証明の基本構造
証明は基本的に以下の構造を持っています：
証明の終わりの記号
- □（白い四角）：証明終わりの記号
- ■（黒い四角）：同上
- Q.E.D.：ラテン語「Quod Erat Demonstrandum」の略（証明すべきことが証明された）
5.2 例題1：偶数の和
定理
2つの偶数の和は偶数である。
証明を読む前に
まず、命題を整理しましょう：
- 仮定：$a$ と $b$ が偶数
- 結論：$a + b$ が偶数
証明
$a$ と $b$ を偶数とする。
Step 1：偶数の定義より、ある整数 $m, n$ が存在して
$$a = 2m, \quad b = 2n$$と書ける。
Step 2：$a + b$ を計算すると
\begin{align} a + b &= 2m + 2n \\ &= 2(m + n) \end{align}Step 3：$m + n$ は整数なので、$k = m + n$ と置くと
$$a + b = 2k$$となる。これは $a + b$ が偶数であることを意味する。$\square$
証明の解説
5.3 例題2：奇数の積
定理
2つの奇数の積は奇数である。
命題の整理
- 仮定：$a$ と $b$ が奇数
- 結論：$a \times b$ が奇数
奇数の定義
整数 $n$ が奇数であるとは、ある整数 $k$ が存在して $n = 2k + 1$ と書けることである。
証明
$a$ と $b$ を奇数とする。
Step 1：奇数の定義より、ある整数 $m, n$ が存在して
$$a = 2m + 1, \quad b = 2n + 1$$と書ける。
Step 2：$a \times b$ を計算する。
\begin{align} a \times b &= (2m + 1)(2n + 1) \\ &= 4mn + 2m + 2n + 1 \quad \text{（展開）}\\ &= 2(2mn + m + n) + 1 \quad \text{（2でくくる）} \end{align}Step 3：$2mn + m + n$ は整数なので、$k = 2mn + m + n$ と置くと
$$a \times b = 2k + 1$$となる。これは $a \times b$ が奇数であることを意味する。$\square$
各ステップで何をしているか
| ステップ | 行っていること |
|---|---|
| Step 1 | 仮定を定義に従って式で表す |
| Step 2 | 式を変形して目標の形に近づける |
| Step 3 | 結論が定義に合致することを確認 |
5.4 例題3：不等式
定理
$a > 0$ かつ $b > 0$ ならば、$a + b > 0$ である。
証明
$a > 0$ かつ $b > 0$ と仮定する。
Step 1：$a > 0$ の両辺に $b$ を加えると（不等式は両辺に同じ数を加えても向きが変わらない）
$$a + b > 0 + b = b$$Step 2：$b > 0$ より
$$a + b > b > 0$$Step 3：したがって
$$a + b > 0$$が成り立つ。$\square$
不等式の推移律
この証明では推移律を使いました：
$$x > y \text{ かつ } y > z \Rightarrow x > z$$5.5 証明を読むコツ
コツ1：まず全体像を把握する
- 何を仮定しているか？
- 何を示そうとしているか？
- どんな方針で証明しているか？
コツ2：各ステップの根拠を確認する
- 「なぜこの式変形ができるのか？」
- 「どの定義・定理を使っているか？」
コツ3：具体例で確認する
- 抽象的な証明を、具体的な数で追ってみる
- 例：$a = 4, b = 6$ で偶数の和の証明を追う
具体例で確認：偶数の和
$a = 4 = 2 \times 2$、$b = 6 = 2 \times 3$ とすると
$a + b = 4 + 6 = 10 = 2 \times 5$
確かに $m = 2, n = 3, k = m + n = 5$ で証明の通り！
コツ4：わからない箇所に印をつける
すべてを一度で理解しようとせず、わからない箇所を明確にして後で調べましょう。
5.6 この章のまとめ
| ポイント | 内容 |
|---|---|
| 証明の構造 | 仮定 → 推論 → 結論 |
| 定義の使い方 | 定義を式で表して計算に使う |
| 読むコツ | 全体像把握、根拠確認、具体例 |
次章の予告
次章では入門編の練習問題に取り組む。ここまでの内容を確認しよう。
よくある質問
Q1: 数学の証明を読む際の基本的な心構えは何ですか？
A: 証明を読む際は「各ステップがなぜ成立するか」を確認しながら進みます。「明らか」「容易に示せる」と書かれた部分も自分で確認し、仮定と結論を常に意識することが重要です。
Q2: 直接証明と間接証明（背理法・対偶法）の使い分けは？
A: 直接証明は仮定から結論を導く基本的な方法です。背理法は「結論が偽と仮定して矛盾を導く」方法で「存在しない」「無限個ある」を示すのに向いています。対偶法は $P \Rightarrow Q$ の代わりに $\neg Q \Rightarrow \neg P$ を示す方法です。
Q3: 「必要十分条件の証明」のパターンは？
A: $P \Leftrightarrow Q$ を示すには $P \Rightarrow Q$（十分性）と $Q \Rightarrow P$（必要性）を別々に証明します。「(⇒) $P$ を仮定すると...（中略）$Q$ を得る。(⇐) $Q$ を仮定すると...」という形が標準的です。