ε-δ論法で陥りがちなミスは何か。

代表的な 5 つは、 (1) ε と δ の量化順序を逆にする、 (2) δ を ε の関数にせず固定値にしてしまう、 (3) 予備計算と本証明の論理方向を混同する、 (4) ⇔ と ⇒ を取り違える、 (5) 「0 < |x - a|」の条件を省略する (極限と連続性の区別が失われる)、である。

極限が存在しないことを ε-δ 論法でどう証明するか。

背理法を使う。 ① lim_{x→a} f(x) = L が存在すると仮定。 ② ε-δ 定義を満たせないような ε₀ > 0 を具体的に選ぶ (典型的に ε₀ = 1/2)。 ③ 任意の δ > 0 について、 0 < |x - a| < δ かつ |f(x) - L| ≥ ε₀ となる x を構成して矛盾を導く。 sin(1/x) のように振動する関数では値 ±1 の点を交互に取れば矛盾が出る。

通常の連続性と一様連続性の違いは何か。

通常の連続性では、各点 a ごとに異なる δ(a, ε) を選んでよい。一様連続性は、「すべての点 a に対して共通に通用する δ(ε)」を要求する強い性質である。 Heine-Cantor 定理により、閉区間 [a, b] 上の連続関数は必ず一様連続となる。一方 1/x は (0, 1) 上で連続だが一様連続ではない (x が 0 に近づくほど δ を小さくする必要がある)。

第2章 ε-δ論法 (後編) — 落とし穴と発展

Q: 極限が存在しないことを ε-δ 論法でどう証明するか。

背理法を使う。 ① lim_{x→a} f(x) = L が存在すると仮定。 ② ε-δ 定義を満たせないような ε₀ > 0 を具体的に選ぶ (典型的に ε₀ = 1/2)。 ③ 任意の δ > 0 について、 0 < |x - a| < δ かつ |f(x) - L| ≥ ε₀ となる x を構成して矛盾を導く。 sin(1/x) のように振動する関数では値 ±1 の点を交互に取れば矛盾が出る。

Q: 通常の連続性と一様連続性の違いは何か。

通常の連続性では、 各点 a ごとに異なる δ(a, ε) を選んでよい。 一様連続性は、 「すべての点 a に対して共通に通用する δ(ε)」 を要求する強い性質である。 Heine-Cantor 定理により、 閉区間 [a, b] 上の連続関数は必ず一様連続となる。 一方 1/x は (0, 1) 上で連続だが一様連続ではない (x が 0 に近づくほど δ を小さくする必要がある)。

難易度: 中級

よくある間違い・非存在の証明・テンプレート比較・一様連続性・練習問題

2 部構成のうち後編。前編第2章 ε-δ論法 (前編) — 定義と基本例題で定義と基本例題を学んだ前提で、本記事 (後編) では落とし穴・非存在の証明・テンプレート比較・一様連続性・練習問題を扱う。

よくある間違い

間違い1：εとδの順序を逆にする

誤：「$\delta > 0$ を取り、ある $\varepsilon > 0$ が存在して...」

正：「任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して...」

$\varepsilon$ が先に与えられ、それに応じて $\delta$ を決める。

間違い2：δをεに依存させない

誤：「$\delta = 0.001$ とする」（$\varepsilon$ に依存しない固定値）

正：$\delta$ は通常 $\varepsilon$ の関数（例：$\delta = \dfrac{\varepsilon}{3}$）

間違い3：予備計算と証明の混同

予備計算では「$|f(x) - L| < \varepsilon$ を仮定して」δを逆算するが、本証明では「$|x - a| < \delta$ を仮定して」$|f(x) - L| < \varepsilon$ を導く。

論理の方向に注意。

間違い4：⇔と⇒を混同する

誤：「$|x - a| < \delta \Leftrightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$」

正：「$|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$」

ε-δ論法は一方向の含意のみを要求する。逆方向（$|f(x) - L| < \varepsilon \Rightarrow |x - a| < \delta$）は一般には成立しない。

例：$f(x) = x$, $a = 0$, $L = 0$ では $\delta = 2\varepsilon$ と取ることができるが、$|f(x)| < \varepsilon$ なら必ず $|x| < 2\varepsilon$ とは限らない。

間違い5：「$0 < |x - a|$」の意味を無視する

誤った記述：「$|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$」（0<の部分を省略）

正：「$0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$」

条件「$0 < |x - a|$」は $x \neq a$ を意味し、極限の定義に本質的である。

理由：

関数は $x = a$ で定義されていないかもしれない（例：$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ は $x = 0$ で未定義）
$x = a$ での関数値と極限値が異なるかもしれない（一方、連続性では $f(a)$ を考える）
極限は $x \to a$ の「近づき方」のみに依存し、$x = a$ での値には依存しない

対比：連続性の定義では「$0 <$ なし」で $|x - a| < \delta$ と書く理由は、$f(a)$ が限界値に等しいことを要求するから。

極限が存在しないことの証明

ε-δ論法では、極限が存在することを正で示すだけでなく、存在しないことを背理法で証明することもできる。

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) \neq L$ を証明するには背理法を使う：

背理法による証明のテンプレート

Step 1:仮定「$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$」と仮定
Step 2:ε値の選定ε-δ定義を満たさないような $\varepsilon_0 > 0$ を具体的に見つける
Step 3:δの任意性任意の $\delta > 0$ に対して、以下が成り立つことを示す
Step 4:反例の構成「$0 < |x - a| < \delta$ だが $|f(x) - L| \geq \varepsilon_0$」となる $x$ を見つける
Step 5:矛盾と結論ε-δ定義に矛盾が生じたから、すべての $L$ に対して $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ は存在しない

重点: 「すべての $L$ に対して存在しないことを示す」ことが必要。一つの $\varepsilon_0$ で矛盾を引き出す。

具体例：$\sin(1/x)$ は $x \to 0$ で極限を持たない

命題

$f(x) = \sin(1/x)$ に対して、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ は存在しない。

証明（背理法）

Step 1：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin(1/x) = L$ が存在すると仮定する。

Step 2：$\varepsilon_0 = \dfrac{1}{2}$ と選ぶ。

Step 3：ε-δ定義により、この $\varepsilon_0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$0 < |x| < \delta$ ならば $|\sin(1/x) - L| < \dfrac{1}{2}$ となるはずである。

Step 4（反例の構成）：

$0 < |x| < \delta$ の範囲に、$\sin(1/x) = 1$ となる点と $\sin(1/x) = -1$ となる点が両方存在する。

$1/x = \pi/2 + 2\pi k$ （$k$ は整数）のとき、$\sin(1/x) = 1$
$1/x = -\pi/2 + 2\pi k$ （$k$ は整数）のとき、$\sin(1/x) = -1$

Step 5（矛盾の導出）：

$\sin(1/x) = 1$ の点では $|\sin(1/x) - L| = |1 - L|$
$\sin(1/x) = -1$ の点では $|\sin(1/x) - L| = |-1 - L|$

この2つの値が同時に $\dfrac{1}{2}$ より小さくなることはできない。

例えば、もし $|1 - L| < \dfrac{1}{2}$ なら $\dfrac{1}{2} < L < \dfrac{3}{2}$。

すると $|-1 - L| > |{-1 - \dfrac{3}{2}}| = \dfrac{5}{2} > \dfrac{1}{2}$ となり矛盾。

Step 6：したがって仮定は間違っており、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ は存在しない。$\square$

極限が存在しないことを示すコツ

振動関数の利用：$\sin(1/x)$ のように複数の値の間を振動する関数は、背理法で存在しないことを示しやすい
左極限と右極限の不一致：$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} 1/x = -\infty$, $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} 1/x = +\infty$ のように方向によって異なる場合
不連続点の利用：段差関数（ステップ関数）など、不連続な点で極限が存在しないことを示す
ε値の選定が鍵：「どの値 $L$ を仮定しても成立しない」ような $\varepsilon_0$ を見つけることが証明の鍵

証明テンプレート比較

ε-δ論法、連続性、数列の極限、背理法（存在しないことの証明）の4つの証明テンプレートをまとめて比較する。

ε-δ論法（関数の極限）

Step 1:宣言「任意の $\varepsilon > 0$」
Step 2:予備計算$|f(x) - L|$ を変形
Step 3:δの決定$\delta$ を定める
Step 4:検証$|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$
Step 5:結論極限が成立

重点: $x = a$ を含まないδ近傍

連続性（ε-δ定義）

Step 1:宣言「任意の $\varepsilon > 0$」
Step 2:予備計算$|f(x) - f(a)|$ を変形
Step 3:δの決定$\delta$ を定める
Step 4:検証$|x-a|<\delta$ ⟹ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$
Step 5:結論連続性が成立

重点: $x = a$ を含むδ近傍

数列の極限（ε-N定義）

Step 1:宣言「任意の $\varepsilon > 0$」
Step 2:予備計算$|a_n - L|$ を変形
Step 3:Nの決定$N > \dfrac{c}{\varepsilon}$
Step 4:検証$n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$
Step 5:結論数列が収束

重点: $N$ より大きいすべての $n$ に対する証明

背理法（極限が存在しないことの証明）

Step 1:仮定「$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$」と仮定
Step 2:ε値選定ε-δ定義を満たさない $\varepsilon_0 > 0$ を見つける
Step 3:δの任意性任意の $\delta > 0$ に対して反例を構成
Step 4:反例構成「$0 < |x - a| < \delta$ だが $|f(x) - L| \geq \varepsilon_0$」となる $x$ を見つける
Step 5:矛盾と結論ε-δ定義に矛盾が生じたから、$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ は存在しない

重点: 「すべての $L$ 値で矛盾する」ことを示す

発展：一様連続性へのブリッジ

一様連続性（Uniform Continuity）とは

これまで学んだ「ε-δ定義による連続性」では、δは点aに依存する：

∀ε > 0, ∃δ(a, ε) > 0 : |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε

一方、一様連続性では、δがすべての点で共通である：

∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : ∀x, a に対し |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε

重要な違い：通常の連続性では各点ごとに異なる δ を許容するが、一様連続性では「1つの δ がすべての点で機能する」ことを要求する。

どんな時に一様連続性が大事か

閉区間上の連続関数： Heine-Cantor定理により、閉区間 [a, b] 上で連続な関数は必ず一様連続である
積分の定義： リーマン積分の存在証明で一様連続性が本質的に使われる
数値計算： 一様連続なら、精度保証付きの数値計算アルゴリズムを設計できる
関数の良い挙動： 一様連続な関数は「異なる点の値が遠く離れにくい」性質がある

例：f(x) = x は [0, 1] 上で一様連続（詳細）

証明のスケッチ：

任意の ε > 0 に対し、δ = ε とおく。すると、

|x - a| < δ = ε ⇒ |f(x) - f(a)| = |x - a| < ε

この δ = ε はすべての点 a ∈ [0, 1] で共通に機能する。よって一様連続である。

反例：f(x) = 1/x は (0, 1) 上で一様連続ではない（詳細）

証明のスケッチ：ε = 1 とする。

どんな δ > 0 を選んでも、点 a = δ/2 付近では、

x = δ/4 を選ぶと |x - a| = δ/4 < δ ですが、
|f(x) - f(a)| = |4/δ - 2/δ| = 2/δ は δ → 0 で ∞ に

つまり、x が 0 に近づくほど、δ 本体を小さくする必要があり、「すべての点で共通な δ」が存在しない。

次のステップ

一様連続性は解析学の重要な概念で、積分論や関数解析への道を開く。この段階では「ε-δ定義の応用として、こういう概念がある」と理解すれば十分である。詳細は実解析の講座で学べる。

練習問題

問題1

$\displaystyle \lim_{x \to 1} (2x - 3) = -1$ をε-δ論法で証明せよ。

💡 ヒント

Step 1：$f(x) = 2x - 3$, $a = 1$, $L = -1$ と特定。

Step 2（予備計算）：$|(2x-3) - (-1)| = |2x - 2|$ となることに注目。これを $|x - 1|$ で表現できるか？

Step 3（δの決定）：もし $|x - 1| < \delta$ なら、$|2x - 2| = 2|x-1|$ はどう評価される？

Step 4（δとεの関係）：$2|x-1| < 2\delta$ が $\varepsilon$ 以下になるには、$\delta$ をどう選べばいい？

問題2

$\displaystyle \lim_{x \to 0} x^3 = 0$ をε-δ論法で証明せよ。

💡 ヒント

Step 1：$f(x) = x^3$, $a = 0$, $L = 0$ と特定。

Step 2（予備計算）：$|x^3 - 0| = |x^3| = |x|^3$ となることに注目。

Step 3（δの決定）：$|x|^3 < \varepsilon$ となるには、$|x|$ がどの値より小さければいい？（$|x| < \sqrt[3]{\varepsilon}$ のような形を目指す）

Step 4（複雑な場合への対応）：この問題は例題2（2次関数）とは異なり、$\delta = \sqrt[3]{\varepsilon}$ で直接対応できる。min()を使う必要があるか考えてみよう。

問題3

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n^2 + 1} = 0$ をε-N論法で証明せよ。

💡 ヒント

Step 1：$a_n = \dfrac{n}{n^2+1}$, $L = 0$ と特定。

Step 2（予備計算）：$\left|\dfrac{n}{n^2+1} - 0\right| = \dfrac{n}{n^2+1}$ と単純化。さらに $n^2 + 1 > n^2$ なので、$\dfrac{n}{n^2+1} < \dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{n}$ と評価できる。

Step 3（Nの決定）：$\dfrac{1}{n} < \varepsilon$ となるには、$n > \dfrac{1}{\varepsilon}$ であればよい。

Step 4（アルキメデスの性質）：「任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$N > \dfrac{1}{\varepsilon}$ となる自然数 $N$ が存在する」という性質を使っている。これは暗黙の了解。

解答を見る

問題1の解答

任意の $\varepsilon > 0$ を取る。$\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$ とする。

$0 < |x - 1| < \delta$ のとき

\begin{align} |(2x - 3) - (-1)| &= |2x - 2| \\ &= 2|x - 1| \\ &< 2 \cdot \dfrac{\varepsilon}{2} \\ &= \varepsilon \end{align}

$\square$

問題2の解答

任意の $\varepsilon > 0$ を取る。$\delta = \min(1, \sqrt[3]{\varepsilon})$ とする。

$0 < |x - 0| < \delta$ のとき、$|x| < 1$ かつ $|x| < \sqrt[3]{\varepsilon}$ なので

\begin{align} |x^3 - 0| &= |x|^3 \\ &< (\sqrt[3]{\varepsilon})^3 \\ &= \varepsilon \end{align}

$\square$

問題3の解答

任意の $\varepsilon > 0$ を取る。$N > \dfrac{1}{\varepsilon}$ となる $N$ を選ぶ。

$n > N$ のとき、$n^2 + 1 > n^2 > n$ なので

\begin{align} \left|\dfrac{n}{n^2 + 1} - 0\right| &= \dfrac{n}{n^2 + 1} \\ &< \dfrac{n}{n^2} \\ &= \dfrac{1}{n} \\ &< \dfrac{1}{N} \\ &< \varepsilon \end{align}

$\square$