終わらない円周率 ― 人類が π を計算し続けた理由

円のまわりの長さは、直径の何倍だろう。ひもを巻いて測れば「だいたい $3$ 倍ちょっと」だとすぐ分かる。ところがこの「ちょっと」の正体を突き止めようとすると、人類は四千年ものあいだ追いかけ続けることになった。その「3倍ちょっと」こそ円周率 $\pi$ ―― いくら桁を求めても終わりの来ない、数学でいちばん有名な数である。

$\pi = 3.14159\ldots$ と書いたとき、この点々はどこまでも続く。決して割り切れず（二つの整数の比では表せない、すなわち無理数である）、同じ並びが繰り返すこともない。だからこそ円周率を求める作業は、つねに「真の値にどこまで近づけるか」という近似の問題になる。この記事では、その終わらない追跡の物語をたどりながら、数値計算という営みの原点をのぞいてみたい。

円を多角形ではさみうつ

古代の人々を悩ませたのは、円という曲線だった。まっすぐな線の長さなら測れる。けれど曲がった円周は、定規を当てようにも当てられない。この難問に最初の鮮やかな答えを出したのが、紀元前三世紀のギリシャの数学者アルキメデスである。

彼の発想はこうだ。円の内側にぴったり収まる正多角形と、円を外側からぴったり囲む正多角形を考える。多角形の辺はまっすぐだから、その周の長さは計算できる。すると円周は、内側の多角形より長く、外側の多角形より短い ―― つまり $\pi$ は二つの数のあいだにはさみうちにされる。

角の数を増やせば、多角形は円にどんどん近づく（図 1）。アルキメデスは正九十六角形まで根気よく計算し、$\dfrac{223}{71} < \pi < \dfrac{22}{7}$、すなわち $3.1408\ldots < \pi < 3.1428\ldots$ という見事な範囲を導いた（上下どちらの端も、真の値からのずれは $0.04\%$ に満たない）。コンピュータどころか今の筆算記法すらない時代に、手だけでここまで迫った。多角形で円を近似するでは、この「はさみうち」の技法をもう少しゆっくり味わえる。

無限の足し算という新兵器

多角形による方法は確実だが、桁を一つ増やすたびに角の数を爆発的に増やさねばならず、たいへん骨が折れる。流れを変えたのが、十七世紀以降に花開いた無限級数という新兵器だった。$\pi$ を、無限にたくさんの項の足し算として書き表す式が次々に見つかったのである。

たとえば有名なライプニッツの式は、こんなにも簡潔だ。

奇数の逆数を符号を変えながら足したり引いたりするだけで $\pi$ が現れる ―― 美しい式である。ただし、この式は近づくのがあまりに遅い。$100$ 項足しても真の値とのずれは約 $0.01$、$1000$ 項でやっと約 $0.001$、$1$ 万項で約 $0.0001$ ―― 正しい桁を一つ増やすのに、項の数を十倍にしなければならない（図 2）。そこで人々は、もっと速く近づく級数を血まなこで探した。Machin 公式で π を計算するように工夫された式を使い、手計算の達人たちは数百桁もの $\pi$ を紙の上で書き上げていった。

たとえば、インドの数学者ニーラカンタが残した級数は、同じく簡単な分数を足し引きするだけで、ライプニッツの式よりずっと速く $\pi$ に近づく。

級数を使う以上、どこかで足すのをやめなければならない。その「打ち切ったぶん」が誤差になる ―― この感覚は級数を有限で打ち切る感覚でつかめる。速い級数とは、つまり「少ない項で誤差が小さくなる」級数のことだ。$\pi$ の桁数競争は、知らず知らずのうちに「いかに賢く近似するか」という数値計算の中心問題そのものになっていた。

計算機が変えた桁数競争

二十世紀にコンピュータが登場すると、$\pi$ の追跡は新しい段階に入った。人間が一生かけて求めた桁数を、機械はあっという間に追い抜く。けれど面白いのは、そこで競争が終わらなかったことだ。むしろ加速した。百万桁、十億桁、一兆桁 ―― そして今や何百兆桁にまで届いている（図 3）。

なぜそんなに求めるのか。実用上は、$\pi$ の値は十数桁もあれば十分すぎる。太陽系くらいの大きさの円を原子一個の精度で扱うのにも、四十桁ほどで足りるという。それでも桁数を伸ばし続けるのは、$\pi$ の計算が新しいアルゴリズムやコンピュータの実力をはかる物差しになるからだ。速い計算法を思いついたら $\pi$ で試す。新しいスーパーコンピュータを組んだら $\pi$ を計算して、隅々まで正しく動くかを確かめる。長い計算のあいだには、宇宙線が当たってメモリの一ビットが一瞬だけ化けることすら起こりうる（ハードが壊れたわけではない一過性の誤りで、「ソフトエラー」と呼ばれる ―― 「ソフト」はソフトウェアの意味ではなく、永続的な故障ではない、という意味だ）。こうした偶発的な化けは、同じ計算をもう一度やり直して突き合わせるだけでも、たった一桁の食い違いから露見する。さらにあえて別の公式でも計算して照合すれば、プログラムの誤りや、CPU の設計ミスのように「何度計算しても同じ誤答を返してしまう」たちの悪い不具合まで捕まえられる。膨大な桁までぴたりと一致した $\pi$ は、その計算機が最後まで間違えずに走り切った何よりの証拠になるのだ。円周率は、いつしか技術の腕試しの舞台になったのである。

「割り切れない」と付き合うということ

円周率の物語が教えてくれるのは、数学にはきれいに割り切れない相手がいる、という当たり前で奥深い事実だ。$\pi$ は分数で表せず（無理数である）、小数で書けば永遠に終わらない。「最後の桁」など最初から存在しない。だから私たちにできるのは、ほしい精度まで近づいた値を、誤差を承知のうえで使うことだけである。

これは負け惜しみではない。むしろ数値計算という分野の出発点そのものだ。世の中の多くの量は、$\pi$ と同じくきれいな形には収まらない。平方根も、対数も、自然界のたいていの数も、有限の桁では書き切れない。だからこそ「真の値そのもの」ではなく「十分に近い値」を、根拠ある誤差つきで手に入れる技術が要る。円周率は、その技術を人類が二千年がかりで磨いてきた、いちばん古くていちばん有名な練習問題なのだ。

結び ― 終わらないからこそ面白い

アルキメデスの多角形から、無限級数を操る達人たち、そして桁数を競うスーパーコンピュータまで。道具は変わっても、人類はずっと同じ一つの数を追いかけてきた。終わりが来ないと分かっているのに、それでも一桁でも先へ ―― この一見むだに見える執念こそが、近似のアルゴリズムを鍛え、数値計算という分野を育ててきた。

「割り切れない数と、誤差を見積もりながら賢く付き合う」。それが円周率の遺してくれた知恵である。この感覚を携えて、次は初級へ進み、浮動小数点数や誤差の正体を、もう一歩ふみこんで眺めてみよう。終わらない $\pi$ の物語が、たしかな計算技術へと姿を変えていくのが見えてくるはずだ。

参考資料

• ゴットフリート・ライプニッツ（Wikipedia） ―― 本文の「ライプニッツの式」を残した、十七世紀ドイツの数学者・哲学者。
• Nilakantha Somayaji（Wikipedia・英語） ―― ライプニッツより速く収束する級数を残した、インド・ケーララ学派の数学者ニーラカンタ。