数値解析 入門
数値計算の基礎（高校レベル）
入門の概要
入門では、数値計算とは何かを直感的に理解する。コンピュータで数学の問題を解くとはどういうことか、そこにどのような誤差が生じるのかを学ぶ。
学習目標
- 数値計算の基本的な考え方を理解する
- 誤差の概念（丸め誤差、打ち切り誤差）を知る
- 二分法で方程式の解を求められる
- 数値微分・数値積分の基本的な考え方を理解する
- 計算機で「正確に」計算できない場合があることを理解する
目次
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第1章
数値計算とは
数値計算の目的、解析解と数値解の違い、近似の考え方
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第2章
誤差の基礎
絶対誤差、相対誤差、丸め誤差、打ち切り誤差
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第3章
二分法
方程式 $f(x) = 0$ の解を求める最も基本的な方法
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第4章
数値微分の初歩
差分近似 $f'(x) \approx \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$ の考え方
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第5章
数値積分の初歩
区分求積法、台形則の直感的理解
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第6章
計算の落とし穴
桁落ち、情報落ち、オーバーフロー・アンダーフロー
副読本：高校生向け 50 話
本編 6 章とは別に、高校生でも読める数値計算のコラム集を 50 本用意した。歴史・数の表現・近似・反復・ランダム・図形・データ統計・落とし穴の 8 部構成。順序に縛られず、気になるものから読める。
I. 数値計算の歴史（8 本）
II. 数の表現の直感（6 本）
III. 近似と直感（8 本）
IV. 反復計算の魔法（8 本）
V. ランダムさを使う計算（5 本）
VI. 図形と数値（5 本）
VII. データと統計の数値（6 本）
VIII. 計算の不思議と落とし穴（4 本）
二分法の可視化
二分法は、関数 $f(x) = 0$ の解を区間を半分に狭めながら見つける方法である。連続関数 $f$ について $f(a)$ と $f(b)$ の符号が異なれば、中間値の定理により区間 $(a, b)$ 内に必ず解が存在する。二分法はこの性質を利用して、中点 $c = (a+b)/2$ での符号を調べ、解がある側の半区間に絞り込む操作を繰り返す。
前提知識
- 中学数学の基礎（方程式、関数のグラフ）
- 高校数学（微分・積分の基本概念）があれば望ましい
読み物
本編や副読本とは別に、肩の力を抜いて読める一話。歴史上の事故から、コンピュータが数を扱うことの意味を眺める。