シンプソンの公式

Q: シンプソンの公式とは何か

3点を通る放物線（2次多項式）の下の面積で定積分を近似する数値積分法である。1/3公式は ∫f dx ≈ (h/3)[f(a)+4f(m)+f(b)] で与えられ、3次以下の多項式に対して正確な値を返す。

Q: シンプソンの公式の精度はどのくらいか

1/3公式の誤差は O(h⁵)（単一区間）、複合公式では O(h⁴) である。台形公式の O(h²) と比べて2桁分高い精度が得られる。

Q: 1/3公式と3/8公式の違いは何か

1/3公式は2次補間（3点使用）、3/8公式は3次補間（4点使用）に基づく。精度はどちらも O(h⁵) だが、3/8公式は分割数が3の倍数の場合に便利である。

この章の目標

シンプソン則の導出（2次多項式近似）、誤差 $O(h^4)$ の評価、複合シンプソン則を理解する。

1. シンプソンの1/3公式

3点 $(a, f(a))$, $(m, f(m))$, $(b, f(b))$（$m = (a+b)/2$）を通る2次多項式（放物線）の下の面積で積分を近似する。

シンプソンの1/3公式

$$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{3}\bigl[f(a) + 4f(m) + f(b)\bigr], \qquad h = \dfrac{b-a}{2}$$

重み比が $1:4:1$ であることが特徴的である。この公式は2次多項式だけでなく3次多項式に対しても正確な値を与える（精度の次数が1つ上がる）。

なぜ3次多項式まで正確になるのか

2次補間多項式 $p_2$ と $f$ の差を考える。$f$ が3次多項式のとき、$f - p_2$ は3つの標本点 $a,\,m,\,b$ で $0$ になる3次式なので、最高次の係数を $c$ として

$$f(x) - p_2(x) = c\,(x-a)(x-m)(x-b)$$

と書ける。ここで $m=\dfrac{a+b}{2}$、$h=\dfrac{b-a}{2}$ とし、$x = m + t$ とおくと

$$(x-a)(x-m)(x-b) = (t+h)\,t\,(t-h) = t^3 - h^2 t$$

となり、これは $t$ の奇関数である。対称区間 $[-h,\,h]$ における奇関数の積分は $0$ なので、$\displaystyle\int_a^b \bigl(f - p_2\bigr)\,dx = 0$、すなわち $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^b p_2\,dx$ がそのまま成り立つ。つまり3点が中点に関して対称（等間隔）に並んでいることが、この「おまけの1次」をもたらしている。同じ理由で、対称な閉じたニュートン＝コーツ公式は偶数次補間のとき精度が1つ上がる。

0 / 0

図1. シンプソンの公式の幾何学的意味（アニメーション）。曲線 $y = f(x) = \operatorname{sinc} x = \dfrac{\sin \pi x}{\pi x}$ の真の積分 $\displaystyle\int_{-4}^{4} \operatorname{sinc} x\,dx = \tfrac{2}{\pi}\operatorname{Si}(4\pi) \approx 0.9499$（初等的な閉形式をもたず正弦積分 $\operatorname{Si}$ で表される）を、隣り合う2区間ごとに3点を通る放物線（緑）の下の面積で近似する。この関数は中央 $x=0$ に鋭いピーク（値 $1$）をもち、その両側で正負に振れる側葉（リンギング）を伴うため、$n=2$ では幅広の放物線がピークも側葉もまったく捉えられず $S_2 \approx 5.3$ と大きく過大評価し、近似と細分の効果がよく見える。「▶ 自動再生」または「次へ／戻る」で1段ずつ進み、分割数 $n$ が $2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32$ と倍になると、$S_n$ は同じ $n$ の台形推定 $T_n$ よりはるかに速く真値へ収束する（ログに両者の誤差を表示）。なお $x=0$ は可除特異点で $\operatorname{sinc} 0 = 1$ と定める。

2. シンプソンの3/8公式

4点を用いた3次ラグランジュ補間に基づく公式である。

シンプソンの3/8公式

$$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \approx \dfrac{3h}{8}\bigl[f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)\bigr], \qquad h = \dfrac{b-a}{3}$$

重み比は $1:3:3:1$ であり、3次多項式に対して正確な値を与える。分割数が3の倍数の場合に便利である。

3. 複合シンプソン公式

区間 $[a,b]$ を $n$（偶数）等分し、隣り合う2区間ごとに1/3公式を適用する。$h = (b-a)/n$ とすると、

複合シンプソン公式

$$S_n = \dfrac{h}{3}\bigl[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\bigr]$$

重み係数は $1, 4, 2, 4, 2, \ldots, 4, 2, 4, 1$ のパターンに従う。

4. 誤差評価

定理（複合シンプソンの誤差）

$f \in C^4[a,b]$ のとき、

$$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx - S_n = -\dfrac{(b-a)h^4}{180}\,f^{(4)}(\xi), \qquad \xi \in (a,b)$$

すなわち誤差は $O(h^4)$ である。

台形公式の $O(h^2)$ に比べて2段階高い精度を持つ。刻み幅 $h$ を半分にすると誤差はおよそ $1/16$ になる。

5. 台形公式との精度比較

図2. $\displaystyle\int_{-4}^{4} \operatorname{sinc} x\,dx$ に対する台形公式とシンプソン公式の誤差の収束（両対数）。分割数 $n=64,128,256,512,1024$ における実測誤差（$T_n$・$S_n$ と真値 $\approx 0.9499$ の差）をプロットした。台形公式は傾き約 $2$（$O(h^2)$）、シンプソン公式は傾き約 $4$（$O(h^4)$）で、ピークを十分解像できる細かさになると同じ $n$ でもシンプソン公式の方が桁違いに小さく、より急に減少する。被積分関数は図1と同じ $\operatorname{sinc} x$ である。

公式	補間次数	精度次数	誤差オーダー
台形公式	1次	1次	$O(h^2)$
Simpson 1/3	2次	3次（+ボーナス）	$O(h^4)$
Simpson 3/8	3次	3次	$O(h^4)$

6. よくある質問

Q1. シンプソンの公式とは何か

3点を通る放物線の下の面積で定積分を近似する数値積分法である。1/3公式は $\dfrac{h}{3}[f(a)+4f(m)+f(b)]$ で与えられ、3次以下の多項式に対して正確な値を返す。

Q2. シンプソンの公式の精度はどのくらいか

複合シンプソン公式の誤差は $O(h^4)$ である。台形公式の $O(h^2)$ と比べて2段階高い精度を持つ。

Q3. 1/3公式と3/8公式の違いは何か

1/3公式は2次補間（3点）、3/8公式は3次補間（4点）に基づく。精度はどちらも $O(h^5)$（単一区間）だが、3/8公式は分割数が3の倍数の場合に便利である。

7. 参考資料

Wikipedia「シンプソンの公式」（日本語版）
Wikipedia「Simpson's rule」（英語版）
R. L. Burden & J. D. Faires, Numerical Analysis, 10th ed., Cengage, 2016.
P. J. Davis & P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic Press, 1984.