絶対誤差

この章の目標

絶対誤差の定義と性質を理解し、四則演算における誤差伝播の法則を使って計算結果の誤差を見積もれるようになる。相対誤差との使い分けの判断基準を身につける。

前提知識

目次

1. 定義

絶対誤差（Absolute Error）とは、真値 $x$ と近似値 $\tilde{x}$ の差の絶対値である。

$$E_{\text{abs}} = |x - \tilde{x}|$$

絶対誤差は測定値や計算値がどれだけ真値からずれているかを、実際の量（単位付き）で表す最も基本的な誤差の尺度である。

絶対誤差の性質

  • 常に非負: $E_{\text{abs}} \ge 0$
  • $E_{\text{abs}} = 0$ は近似が完全に正確であることを意味する
  • 真値と同じ単位（次元）をもつ
  • 真値の大きさに依存しない — 例えば近似値 $1.01$（真値 $1$）と近似値 $1\,000\,000.01$（真値 $10^6$）の絶対誤差はどちらも $0.01$ である。ただし後者の方が相対誤差は格段に小さく、実質的な精度は高い

符号付きの誤差 $\Delta x = \tilde{x} - x$ を真の誤差（true error）と呼ぶこともある。$\Delta x > 0$ は過大評価、$\Delta x < 0$ は過小評価を意味する。

2. 計算方法と表記

絶対誤差の計算は単純な引き算と絶対値の操作である。

$$E_{\text{abs}} = |x - \tilde{x}|$$

実際の応用では、真値 $x$ が未知であることが多い。その場合、以下のような代替手段が用いられる。

  • 誤差限界（error bound）: 絶対誤差の上界 $|x - \tilde{x}| \le \varepsilon$ を求める
  • 事後推定: 反復法において連続する近似値の差 $|\tilde{x}_{n+1} - \tilde{x}_n|$ を誤差の推定値とする
  • 残差: $f(x) = 0$ を解く場合、$|f(\tilde{x})|$ を誤差の代理指標とする

測定結果の表記では、$\tilde{x} \pm \varepsilon$ のように絶対誤差を明示する。例えば「長さ $= 3.14 \pm 0.01\;\text{m}$」は絶対誤差が $0.01\;\text{m}$ 以下であることを示す。

3. 相対誤差との比較

性質絶対誤差相対誤差
定義$|x - \tilde{x}|$$|x - \tilde{x}| / |x|$
単位真値と同じ単位無次元（%で表示可）
真値 $= 0$ 近傍意味がある定義が困難
スケール不変性なしあり
適した場面同一スケールの比較異なるスケールの比較

絶対誤差と相対誤差は相補的な関係にある。ゼロに近い値では絶対誤差が有用であり、大きな値の精度評価には相対誤差が適している。

絶対誤差の図解: スケールが大きい場合と小さい場合の比較 0.5 100 100.5 絶対誤差 = 0.5 相対誤差 = 0.5% ✓ 高精度 0.0005 0.001 0.0015 絶対誤差 = 0.0005 相対誤差 = 50% ✗ 低精度 真値 x 近似値 x̃ 絶対誤差が小さくても、真値が小さければ相対的な精度は低い — 相対誤差との併用が不可欠
図1. 絶対誤差の図解。左は大きなスケール（絶対誤差 0.5 でも高精度）、右は小さなスケール（絶対誤差 0.0005 でも低精度）。

4. 誤差伝播の法則

$\tilde{x} = x + \Delta x$, $\tilde{y} = y + \Delta y$ とする。四則演算における絶対誤差の伝播は以下のとおりである。

加法・減法

$$|\Delta(x \pm y)| \le |\Delta x| + |\Delta y|$$

加減算では絶対誤差が加算的に伝播する。特に減法で $x \approx y$ の場合、結果の絶対誤差は変わらないが相対誤差が増大する（桁落ち）。

乗法

$$|\Delta(xy)| \approx |y||\Delta x| + |x||\Delta y|$$

除法

$$\left|\Delta\left(\frac{x}{y}\right)\right| \approx \frac{|y||\Delta x| + |x||\Delta y|}{y^2}$$

一般の関数

$f(x)$ が微分可能であるとき、1次近似による誤差伝播は

$$|\Delta f| \approx |f'(x)| \cdot |\Delta x|$$

多変数関数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ の場合は

$$|\Delta f| \approx \sum_{i=1}^{n} \left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right| |\Delta x_i|$$

となる。

5. 有効数字との関係

近似値 $\tilde{x}$ が $n$ 桁の有効数字をもつとは、絶対誤差が最終桁の半分以下であることを意味する。

$$|x - \tilde{x}| \le \frac{1}{2} \times 10^{m-n+1}$$

ここで $m$ は $\tilde{x}$ の最高位の桁の指数である。例えば $\tilde{x} = 3.1416$ が4桁の有効数字をもつならば、$|x - \tilde{x}| \le 0.00005$ である。

6. 計算例

例1: 円周率の近似

$\pi = 3.14159265\ldots$ に対する各近似値の絶対誤差：

近似値 $\tilde{x}$絶対誤差 $|x - \tilde{x}|$
$3$$0.14159\ldots$
$3.14$$0.00159\ldots$
$22/7 \approx 3.14286$$0.00127\ldots$
$355/113 \approx 3.14159292$$2.67 \times 10^{-7}$

例2: 誤差伝播の計算

$x = 2.0 \pm 0.1$, $y = 3.0 \pm 0.2$ のとき、$f = x + y$ と $g = xy$ の誤差を求める。

加法: $|\Delta f| \le |\Delta x| + |\Delta y| = 0.1 + 0.2 = 0.3$ であるから、$f = 5.0 \pm 0.3$ である。

乗法: $|\Delta g| \approx |y||\Delta x| + |x||\Delta y| = 3.0 \times 0.1 + 2.0 \times 0.2 = 0.7$ であるから、$g = 6.0 \pm 0.7$ である。

7. よくある質問

Q1. 絶対誤差とは何ですか？

真値と近似値の差の絶対値 $|x - \tilde{x}|$ のことである。近似がどれだけ真値からずれているかを実際の量で表す。

Q2. 絶対誤差と相対誤差の違いは何ですか？

絶対誤差は真値と同じ単位をもつ量であり、相対誤差は絶対誤差を真値で割った無次元量である。小さい値と大きい値で同じ絶対誤差でも相対誤差は大きく異なるため、異なるスケールの比較には相対誤差が適している。

Q3. 絶対誤差の伝播法則とは何ですか？

四則演算における誤差の伝播法則である。加減算では絶対誤差が加算的に伝播し $|\Delta(x \pm y)| \le |\Delta x| + |\Delta y|$ となる。乗除算では相対誤差が加算的に伝播する。一般の関数では1次近似 $|\Delta f| \approx |f'(x)| \cdot |\Delta x|$ により評価できる。

8. 参考資料

  • Wikipedia「誤差」（日本語版）
  • Wikipedia「Approximation error」（英語版）
  • Wikipedia「Propagation of uncertainty」（英語版）
  • R. L. Burden & J. D. Faires, Numerical Analysis, 10th ed., Cengage, 2016.
  • J. R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2nd ed., University Science Books, 1997.