線形代数 中級

対角化、関数空間、行列式の様々な導出（大学2-3年レベル）

中級の概要

中級では、初級で学んだ概念を深め、発展的なトピックを扱う。対角化による行列の単純化、複素固有値の幾何学的意味、無限次元ベクトル空間（関数空間）の導入、そして行列式の様々な導出法を学ぶ。

学習目標

  • 対角化の条件と手順を理解し、行列の冪乗を効率的に計算できる
  • 複素固有値と回転の関係を理解する
  • 多項式空間・関数空間を具体例として扱える
  • 行列式の複数の導出法（幾何学的、線形変換、行基本変形）を比較理解する

目次

  1. 第1章 対角化

    対角化可能条件、手順、行列の冪乗、指数関数

  2. 第2章 複素固有値

    複素固有値と回転、実行列の複素固有値、振動系

  3. 第3章 多項式空間

    $\mathcal{P}_n$ の基底、微分作用素、線形写像としての多項式演算

  4. 第4章 関数空間

    $C[a,b]$、$L^2$空間、無限次元ベクトル空間、内積

  5. 第5章 行列式：なぜLeibniz公式か

    幾何学的動機から Leibniz 公式を導出

  6. 第6章 行列式：線形変換の観点

    スケーリング因子、IOLA（Introduction to Linear Algebra）的アプローチ

  7. 第7章 行列式：バーを積み上げる

    行ベクトルを1本ずつ追加する視点

  8. 第8章 行列式の導出：行基本変形と上三角行列

    上三角行列への変形、計算アルゴリズム

コラム

特殊行列・分解

  • ヘッセンベルグ変換

    「ほぼ三角行列」への変換。QRアルゴリズムの前処理として固有値計算を高速化する

  • 同伴行列（コンパニオン行列）

    多項式の根と行列の固有値を結びつける。フロベニウス標準形の構成要素

  • 三重対角行列

    帯幅1の疎行列。Thomas アルゴリズムによる O(n) 直接解法と固有値計算の前処理

  • Householder 変換（鏡映変換）

    超平面に関する鏡映による直交変換。QR分解・ヘッセンベルグ変換・三重対角化の基盤

  • LU分解

    下三角×上三角への分解。存在条件・一意性の証明、PLU分解、行列式との関係

  • コレスキー分解

    正定値対称行列の A = LL^T 分解。存在と一意性、LDL^T 分解、正定値性の判定

  • 特異値分解（SVD）

    任意の行列の A = UΣV^T 分解。幾何学的意味、擬似逆行列、低ランク近似

  • 二次形式

    Q(x) = x^TAx の分類。主軸定理、シルベスターの慣性法則、極値判定への応用

前提知識