第19章: 行列式：公理的定義と一意性

このページの目標

行列式を公理的に定義する。具体的な計算式ではなく「満たすべき性質」から出発し、そのような関数が一意に存在することを証明する。このアプローチは Millersville 大学の Bruce Ikenaga による線形代数ノートに基づく。

公理的アプローチの意義：数学者はしばしば「公式を書き下す」のではなく「対象を特徴づける性質を同定する」というやり方で概念を定義する。行列式の公理的定義はその典型例である。

1. 行列式の3つの公理

$n \times n$ 行列全体の集合を $M(n, R)$ と書く（$R$ は実数 $\mathbb{R}$ や複素数 $\mathbb{C}$ などの体、より一般には可換環）。

定義：関数 $D: M(n, R) \to R$ が行列式関数であるとは、以下の3つの公理を満たすことをいう。

公理1：各行について線形（多重線形性）

$D$ は各行について線形である。すなわち、$a \in R$、$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in R^n$ に対して：

\begin{equation} D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \\ \vdots \end{pmatrix} = D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{x} \\ \vdots \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{y} \\ \vdots \end{pmatrix} \label{eq:ax-linear-add} \end{equation} \begin{equation} D\begin{pmatrix} \vdots \\ a\boldsymbol{x} \\ \vdots \end{pmatrix} = a \cdot D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{x} \\ \vdots \end{pmatrix} \label{eq:ax-linear-scalar} \end{equation}

（他の行は固定）

公理2：交代性

2つの行が等しい行列の行列式は 0 である：

\begin{equation} D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{r} \\ \vdots \\ \boldsymbol{r} \\ \vdots \end{pmatrix} = 0 \label{eq:ax-alternating} \end{equation}

（第 $i$ 行と第 $j$ 行が同じベクトル $\boldsymbol{r}$）

公理3：正規化

単位行列の行列式は 1 である：

\begin{equation} D(I) = 1 \label{eq:ax-normalization} \end{equation}

問題設定：これらの公理を満たす関数 $D$ は存在するか？ 存在するなら一意か？

公理1: 線形性 a b x+x' y+y' = a b x y + a b x' y' 行ごとに線形に分解 det は各行の線形関数 公理2: 交代性 det a b a b 同じ = 0 ✖ 等しい行 → det = 0 公理3: 正規化 det 1 0 0 1 = 1 ✔ 単位行列 → det = 1
図1: 行列式の3つの公理 — 線形性・交代性・正規化が行列式を一意に特徴づける

2. 公理からの帰結

3つの公理から、いくつかの重要な性質が導かれる。

2.1 ゼロ行を持つ行列

補題1：ゼロ行があれば行列式は 0

行列 $A$ のある行がすべて 0 ならば、$D(A) = 0$。

証明を見る

第 $i$ 行が $\boldsymbol{0}$ だとする。任意のベクトル $\boldsymbol{r}_i$ に対して $\boldsymbol{0} = 0 \cdot \boldsymbol{r}_i$ と書ける。$\eqref{eq:ax-linear-scalar}$ より：

$$D(A) = D\begin{pmatrix} \vdots \\ 0 \cdot \boldsymbol{r}_i \\ \vdots \end{pmatrix} = 0 \cdot D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{r}_i \\ \vdots \end{pmatrix} = 0$$

2.2 行の入れ替え

補題2：行を入れ替えると符号が反転

2つの行を入れ替えると、行列式の符号が反転する：

\begin{equation} D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \end{pmatrix} = -D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \end{pmatrix} \label{eq:ax-swap} \end{equation}
証明を見る

公理2 $\eqref{eq:ax-alternating}$ より、第 $i$ 行と第 $j$ 行をともに $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ にすると：

$$D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \\ \vdots \end{pmatrix} = 0$$

公理1 $\eqref{eq:ax-linear-add}$ を第 $i$ 行、次に第 $j$ 行について適用して展開：

$$D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \end{pmatrix} = 0$$

第1項と第4項は公理2より 0。したがって：

$$D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{b} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a} \\ \vdots \end{pmatrix} = 0$$

2.3 行基本変形と行列式

行基本変形が行列式にどう影響するかをまとめる：

行基本変形 行列式への影響 根拠
第 $i$ 行を $c$ 倍する $D \to c \cdot D$ 公理1 $\eqref{eq:ax-linear-scalar}$
第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替える $D \to -D$ 補題2 $\eqref{eq:ax-swap}$
第 $i$ 行に第 $j$ 行の $c$ 倍を加える $D$ は不変 公理1 + 公理2
「行の加算で不変」の証明

第 $i$ 行に第 $j$ 行の $c$ 倍を加える。$\eqref{eq:ax-linear-add}$ より：

$$D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{r}_i + c\boldsymbol{r}_j \\ \vdots \\ \boldsymbol{r}_j \\ \vdots \end{pmatrix} = D\begin{pmatrix} \vdots \\ \boldsymbol{r}_i \\ \vdots \\ \boldsymbol{r}_j \\ \vdots \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} \vdots \\ c\boldsymbol{r}_j \\ \vdots \\ \boldsymbol{r}_j \\ \vdots \end{pmatrix}$$

第2項は $\eqref{eq:ax-linear-scalar}$ と $\eqref{eq:ax-alternating}$ より $c \cdot 0 = 0$。したがって行列式は不変。

3. 具体例：公理を使った計算

3.1 2×2行列の例

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式を公理だけを使って計算してみよう。

Step 1：第2行を分解する。$(3, 2) = 3(1, -1) + (0, 5)$ と書ける。

公理1 $\eqref{eq:ax-linear-add}$ より：

$$D\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = D\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3(1, -1) \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$

Step 2：第1項を評価する。$\eqref{eq:ax-linear-scalar}$ より：

$$D\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} = 3 \cdot D\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

公理2 $\eqref{eq:ax-alternating}$ より、2行が等しいので：

$$= 3 \cdot 0 = 0$$

Step 3：第2項を評価する。第1行を分解して $(1, -1) = 1 \cdot (1, 0) + (-1) \cdot (0, 1)$：

$$D\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = D\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + D\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$

第2項を評価する。第2行についても標準基底で分解すると $(0, 5) = 0 \cdot \boldsymbol{e}_1 + 5 \cdot \boldsymbol{e}_2$：

$$D\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5 \cdot D\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

さらに第1行を分解すると $(0, -1) = 0 \cdot \boldsymbol{e}_1 + (-1) \cdot \boldsymbol{e}_2$。$\boldsymbol{e}_1$ の項は補題1（ゼロ行）より 0。$\boldsymbol{e}_2$ の項は：

$$5 \cdot (-1) \cdot D\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -5 \cdot 0 = 0$$

2つの行が等しいので公理2より 0 である。

Step 4：残った項を $\eqref{eq:ax-linear-scalar}$ で評価：

$$D\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = 5 \cdot D\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 5 \cdot D(I) = 5 \cdot 1 = 5$$
$$D\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 0 + 5 = 5$$

通常の公式 $ad - bc = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3 = 2 + 3 = 5$ と一致する。

4. 一意性定理

ここが本ページの核心部分である。公理1と公理2を満たす任意の関数は、特定の形に制限されることを示す。

定理（一意性）

$D: M(n, R) \to R$ が各行について線形（公理1）で、等しい行を持つ行列で 0（公理2）ならば：

\begin{equation} D(A) = \left( \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)} \right) \cdot D(I) \label{eq:ax-uniqueness} \end{equation}

ここで $S_n$ は $n$ 次対称群（$n!$ 個の置換の集合）、$\mathrm{sgn}(\sigma)$ は置換の符号。

4.1 証明の概要

証明は4つのステップからなる：

  1. 各行を標準基底 $\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n$ で展開する
  2. 公理1（線形性）を繰り返し適用して、$n^n$ 項の和に展開する
  3. 公理2（交代性）により、同じ基底が重複する項を消去する → $n!$ 項が残る
  4. 残った各項の係数を置換の符号で表す
行列 A 各行を eⱼ で展開 nⁿ 項 (膨大) 交代性で消去 n! 項 (激減) Leibniz公式 入力 Step 1-2 展開後 Step 3 Step 4 例: n=4 のとき 4⁴=256 項 → 4!=24 項（約 90% 消去） n=10 のとき 10¹⁰=10¹⁰ 項 → 10!=3628800 項
図2: 一意性証明のロードマップ — 多重線形性で nn 項に展開し、交代性で n! 項に縮約

4.2 詳細な証明

Step 1：基底展開

行列 $A$ の第 $i$ 行 $\boldsymbol{r}_i$ を標準基底で書くと：

$$\boldsymbol{r}_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \boldsymbol{e}_j = a_{i1}\boldsymbol{e}_1 + a_{i2}\boldsymbol{e}_2 + \cdots + a_{in}\boldsymbol{e}_n$$
Step 2：線形性で展開

公理1を第1行に適用：

$$D(A) = D\begin{pmatrix} \sum_{j_1} a_{1j_1}\boldsymbol{e}_{j_1} \\ \boldsymbol{r}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{r}_n \end{pmatrix} = \sum_{j_1=1}^{n} a_{1j_1} D\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_{j_1} \\ \boldsymbol{r}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{r}_n \end{pmatrix}$$

第2行にも適用：

$$= \sum_{j_1=1}^{n} \sum_{j_2=1}^{n} a_{1j_1} a_{2j_2} D\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_{j_1} \\ \boldsymbol{e}_{j_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{r}_n \end{pmatrix}$$

すべての行について繰り返すと：

$$D(A) = \sum_{j_1=1}^{n} \sum_{j_2=1}^{n} \cdots \sum_{j_n=1}^{n} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n} \cdot D\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_{j_1} \\ \boldsymbol{e}_{j_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{e}_{j_n} \end{pmatrix}$$

これは $n^n$ 個の項からなる。

Step 3：交代性で消去

$D(\boldsymbol{e}_{j_1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{j_n})$ が 0 でないのはいつか？

公理2より、$j_k = j_l$（$k \neq l$）ならば同じ行が2つあるので $D = 0$。

したがって、$(j_1, j_2, \ldots, j_n)$ がすべて異なる場合のみ生き残る。

$\{1, 2, \ldots, n\}$ からすべて異なる $n$ 個を選ぶ → 置換 $\sigma \in S_n$

$$D(A) = \sum_{\sigma \in S_n} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \cdot D\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_{\sigma(1)} \\ \boldsymbol{e}_{\sigma(2)} \\ \vdots \\ \boldsymbol{e}_{\sigma(n)} \end{pmatrix}$$

$n^n$ 項が $n!$ 項に減った。

Step 4：各項の係数

$D(\boldsymbol{e}_{\sigma(1)}, \boldsymbol{e}_{\sigma(2)}, \ldots, \boldsymbol{e}_{\sigma(n)})$ の値を求める。

行列 $(\boldsymbol{e}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{e}_{\sigma(n)})^T$ を単位行列 $I = (\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n)^T$ に戻すには、行の入れ替えが必要。

置換 $\sigma$ を恒等置換に戻すのに必要な互換（2要素の入れ替え）の回数の偶奇が置換の符号 $\mathrm{sgn}(\sigma)$：

$$\mathrm{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1 & \text{偶数回（偶置換）} \\ -1 & \text{奇数回（奇置換）} \end{cases}$$

補題2 $\eqref{eq:ax-swap}$ より、1回の行入れ替えで符号が反転するので：

$$D(\boldsymbol{e}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{e}_{\sigma(n)}) = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot D(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n) = \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot D(I)$$

補足：ここでの操作は行の入れ替えである。$(\boldsymbol{e}_{\sigma(1)}, \ldots, \boldsymbol{e}_{\sigma(n)})^\top$ の行を並び替えて単位行列 $I = (\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n)^\top$ に戻しており、各入れ替えごとに補題2により符号が反転する。

4.3 結論

以上をまとめると：

$$D(A) = \sum_{\sigma \in S_n} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \cdot \mathrm{sgn}(\sigma) \cdot D(I)$$ $$= \left( \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)} \right) \cdot D(I)$$

重要な帰結

公理1と公理2を満たす任意の関数 $D$ は：

$$D(A) = (\det A) \cdot D(I)$$

ここで $\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$ は Leibniz 公式。

5. 存在性と一意性の完成

5.1 一意性

定理 $\eqref{eq:ax-uniqueness}$ に公理3（$D(I) = 1$）を加えると：

$$D(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$$

これは3つの公理を満たす関数が存在するならば一意であることを意味する。

Leibniz 公式（一意性）

3つの公理を満たす関数が存在するならば、それは以下の形でなければならない：

\begin{equation} \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)} \label{eq:ax-leibniz} \end{equation}

5.2 存在性

逆に、$\eqref{eq:ax-leibniz}$ で関数 $\det$ を定義すると、それが3つの公理を満たすことを確認できる。

公理1（線形性）の確認

各項 $\prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$ は第 $k$ 行の成分 $a_{k,\sigma(k)}$ を1次で含む。したがって：

  • 第 $k$ 行を $\boldsymbol{r}_k + \boldsymbol{r}'_k$ に置き換えると、和に分解される
  • 第 $k$ 行を $c \boldsymbol{r}_k$ に置き換えると、$c$ が前に出る
公理2（交代性）の確認

第 $i$ 行と第 $j$ 行が等しいとき（$\boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_j$）、すべての $k$ で $a_{ik} = a_{jk}$。

置換 $\sigma$ と互換 $(i\ j)$ を合成した $\tau = (i\ j) \circ \sigma$ を考える。$\mathrm{sgn}(\tau) = -\mathrm{sgn}(\sigma)$。

$a_{ik} = a_{jk}$ より、$\sigma$ と $\tau$ の項の積は等しく、符号だけ逆なので打ち消し合う。すべての置換がこのように対になるので $\det(A) = 0$。

公理3（正規化）の確認

単位行列 $I$ の成分は $\delta_{ij}$（クロネッカーのデルタ）。

$$\det(I) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} \delta_{i,\sigma(i)}$$

積 $\prod_{i=1}^{n} \delta_{i,\sigma(i)}$ が 1 になるのは $\sigma = \mathrm{id}$（恒等置換）のときのみ。

$$\det(I) = \mathrm{sgn}(\mathrm{id}) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$$

5.3 最終結論

行列式の特性づけ

  1. 一意性：3つの公理を満たす関数があれば、Leibniz 公式の形でなければならない
  2. 存在性：Leibniz 公式で定義された関数は、3つの公理を満たす
  3. 結論：3つの公理を満たす関数は一意に存在し、それが行列式 $\det$ である

6. 計算方法の同値性

一意性定理の重要な帰結として、行列式のさまざまな計算方法がすべて同じ結果を与えることが保証される。

行列式の計算方法

  • Leibniz 公式（置換公式）：$\det A = \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_i a_{i,\sigma(i)}$
  • 余因子展開：任意の行または列について展開
  • 行簡約（掃き出し法）：上三角行列に変形して対角成分の積
  • LU分解：$A = LU$ のとき $\det A = \det L \cdot \det U$

これらはすべて3つの公理を満たすことが（直接または間接に）確認でき、一意性定理により同じ値を返す。

実用上の意義：どの方法で計算しても結果は同じなので、問題に応じて最も効率的な方法を選べばよい。

7. まとめ

本ページで示したこと

  1. 公理的定義：行列式を「3つの公理を満たす関数」として定義
  2. 公理からの帰結：行入れ替えで符号反転、行加算で不変など
  3. 一意性定理：公理1・2を満たす関数は $D(A) = (\det A) \cdot D(I)$ の形
  4. 存在性：Leibniz 公式が3つの公理を満たすことを確認
  5. 結論：行列式関数は一意に存在する

公理的アプローチの利点は：

  • 行列式の「本質」（どの性質が決定的か）が明確になる
  • さまざまな計算方法が同じ結果を与えることが自動的に保証される
  • 任意の可換環上で理論を展開できる（$\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ に限らない）

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参考文献：