積分 中級

ベクトル解析の積分定理（大学3-4年レベル）

中級の概要

線積分 ∫C F·dr 仕事、循環 面積分 ∬S F·dS フラックス 積分定理の関係 グリーン 2次元 ストークス 曲面 ガウス 3次元 一般化ストークス
図1. 中級で扱う積分の全体像。曲線上の線積分（仕事・循環）と曲面上の面積分（フラックス）を土台に、グリーンの定理（2次元）・ストークスの定理（曲面）・ガウスの発散定理（3次元）の三大積分定理が、いずれも一般化ストークスの定理 $\int_{\partial\Omega}\omega=\int_\Omega d\omega$ の特別な場合として統一される。

中級では、ベクトル解析における積分定理を学ぶ。曲線上の線積分、曲面上の面積分、そしてグリーン・ストークス・ガウスの三大積分定理を扱う。

学習目標

  • 線積分の定義と計算方法を理解する
  • 面積分とフラックスを理解する
  • グリーンの定理を理解し応用できる
  • ストークスの定理を理解する
  • ガウスの発散定理を理解する
  • 三大積分定理を一般化ストークスの定理として統一的に理解する

目次

  1. 第1章 スカラー場の線積分

    曲線に沿った積分、弧長パラメータ

  2. 第2章 ベクトル場の線積分

    仕事、循環、保存場

  3. 第3章 グリーンの定理

    平面領域と境界曲線、応用

  4. 第4章 面積分

    曲面のパラメータ表示、フラックス

  5. 第5章 ストークスの定理

    曲面と境界曲線、回転

  6. 第6章 ガウスの発散定理

    閉曲面、発散、物理への応用

関連用語

前提知識

  • 積分 初級の内容
  • ベクトルの微分（勾配、発散、回転）
  • 曲線・曲面のパラメータ表示

三大積分定理

グリーンの定理

$D$が平面上の領域、$\partial D$がその境界のとき：

$$\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$

ストークスの定理

$S$が曲面、$\partial S$がその境界曲線のとき：

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$

ガウスの発散定理

$V$が3次元領域、$\partial V$がその境界曲面のとき：

$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$$

読み物

  • 境界が中身を語る ― 三つの定理は一つだった ［読み物］ — グリーン・ストークス・ガウスが実は『境界での積分＝中身での積分』という一つの主張だったこと。一般化ストークスの定理が見せる統一の美を語る。
  • 座標を選び直す自由 ― 重積分と極座標、ガウスの妙技 ［読み物］ — 同じ積分でも座標を取り替えるだけで一気にほどける。なぜ二重積分は座標を着替えられるのか、そしてガウス積分 ∫e^{-x²}dx=√π が極座標でなぜあれほど鮮やかに解けるのかを、ヤコビアンの正体まで語る。
  • 道を忘れる積分 ― 保存場と、空間にあいた一つの穴 ［読み物］ — 同じ二点を結ぶならどんな道をたどっても結果が変わらない線積分がある。なぜ積分は『道を忘れて端だけ覚える』のか、その正体である保存場とポテンシャルの話、そしてその魔法を空間にあいたたった一つの穴がどう破るのかを語る。

よくある質問

積分の中級では何を学ぶか

ベクトル解析における積分定理を学ぶ。曲線に沿った線積分（仕事・循環）、曲面上の面積分（フラックス）、そしてグリーン・ストークス・ガウスの三大積分定理を扱う。ベクトル場を積分でどう捉えるかが中心となる。

線積分と面積分はどう違うのか

線積分は曲線 $C$ に沿った積分で、ベクトル場のする仕事 $\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ や循環を表す。面積分は曲面 $S$ 上の積分で、場が面を貫く量（フラックス）$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ を表す。積分する対象が曲線か曲面かが本質的な違いである。

グリーン・ストークス・ガウスの三定理はなぜ一つにまとめられるのか

いずれも境界での積分と内部での積分が等しいという同一の主張であり、一般化ストークスの定理 $\int_{\partial\Omega}\omega=\int_\Omega d\omega$ の特別な場合として統一される。2次元がグリーンの定理、曲面がストークスの定理、3次元がガウスの発散定理に対応する。