第4章: 加法定理
概要
加法定理は、2つの角の和や差の三角関数を、それぞれの角の三角関数の積の組み合わせで表す公式である。 三角関数の公式の中で最も基本的かつ重要なもののひとつであり、多くの他の公式がここから導かれる。
加法定理の公式
加法定理
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$以下では、4つの異なる方法でこれらの公式を証明する。
証明1: 単位円上の2点間の距離
この証明は高校数学の範囲で理解でき、多くの教科書で採用されている標準的な方法である。
cos の加法定理（減法形）の証明
単位円上に4つの点を取り、2組の点の間の距離が等しいことを利用する。
図1: 単位円上の4点 A, B, P, Q（弦 AB と弦 PQ は等しい長さ）
Step 1: 4点の設定
単位円上に以下の4点をとる：
- $A = (1, 0)$（角度 $0$）
- $B = (\cos(\alpha - \beta), \sin(\alpha - \beta))$（角度 $\alpha - \beta$）
- $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$（角度 $\alpha$）
- $Q = (\cos\beta, \sin\beta)$（角度 $\beta$）
Step 2: 中心角と弧の関係
図2: 弧 AB と弧 QP は同じ中心角（= α−β）を持つ
$A$ から $B$ への中心角は $\alpha - \beta$
$Q$ から $P$ への中心角も $\alpha - \beta$（$\alpha - \beta = \alpha - \beta$）
したがって、弧 $AB$ と弧 $QP$ の長さは等しく、弦 $AB$ と弦 $PQ$ の長さも等しい。
$$|AB| = |PQ|$$Step 3: |AB|² を計算
図3: |AB|² = (水平距離)² + (垂直距離)²
2点間の距離の公式より：
$$|AB|^2 = (\cos(\alpha - \beta) - 1)^2 + (\sin(\alpha - \beta) - 0)^2$$ $$= \cos^2(\alpha - \beta) - 2\cos(\alpha - \beta) + 1 + \sin^2(\alpha - \beta)$$$\sin^2 + \cos^2 = 1$ より：
$$= 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$$Step 4: |PQ|² を計算
図4: |PQ|² = (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)²
Step 5: |AB|² = |PQ|² から導出
図5: 弦の長さが等しい → 距離の式を等置
cos の減法公式
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \blacksquare$$cos の加法公式と sin の公式の導出
Step 6: cos(α+β) の導出
図6: β → −β の置き換え（x 軸対称）
$\beta$ を $-\beta$ に置き換える。$\cos(-\beta) = \cos\beta$、$\sin(-\beta) = -\sin\beta$ より：
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$Step 7: sin(α+β) の導出
図7: 余角の関係: sin θ = cos(π/2 − θ)
余角の関係 $\sin\theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$ を使う：
$$\sin(\alpha + \beta) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right) = \cos\left(\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right)$$cos の減法公式を適用：
$$= \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos\beta + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\beta$$ $$= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$加法定理（証明1より）
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \blacksquare$$証明2: 直角三角形を用いた幾何的証明
2つの直角三角形を組み合わせて、加法定理を幾何的に証明する。この方法は $0 < \alpha, \beta, \alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$ の場合に直感的で分かりやすい。
図8: $|OP| = 1$ の線分を角 $\alpha$ の方向に分解する作図（例: $\alpha = 35°,\ \beta = 25°$）
Step 1: 作図
原点 $O$ から、$x$ 軸となす角が $\alpha$ の半直線と、角が $\alpha + \beta$ の半直線を引く。
角 $\alpha + \beta$ の半直線上に、$|OP| = 1$ となる点 $P$ をとる。
$P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $E$、角 $\alpha$ の半直線に下ろした垂線の足を $Q$ とする。
Step 2: 2つの直角三角形の辺
直角三角形 $OPE$ は $\angle POE = \alpha + \beta$、$|OP| = 1$ だから、
$$|OE| = \cos(\alpha+\beta), \quad |PE| = \sin(\alpha+\beta)$$直角三角形 $OPQ$ は $\angle POQ = \beta$、$|OP| = 1$ だから、
$$|OQ| = \cos\beta, \quad |QP| = \sin\beta$$Step 3: 垂線の足 Q で成分に分解する
$Q$ から $x$ 軸に垂線を下ろし、その足を $B$ とする。また $Q$ を通る水平線と $PE$ の交点を $R$ とする。このとき四角形 $QBER$ は長方形である。
図9: $\sin(\alpha+\beta)$ の成分分解（高さ $|PE|$ を上下2つの辺に分ける）
直角三角形 $OQB$ は $\angle QOB = \alpha$、$|OQ| = \cos\beta$ だから、
$$|QB| = \cos\beta\,\sin\alpha = \sin\alpha\cos\beta, \quad |OB| = \cos\beta\,\cos\alpha = \cos\alpha\cos\beta$$$PQ \perp OQ$ かつ $PE \perp OE$ なので $\angle QPR = \alpha$。直角三角形 $PRQ$ は $|PQ| = \sin\beta$ だから、
$$|PR| = \sin\beta\,\cos\alpha = \cos\alpha\sin\beta, \quad |RQ| = \sin\beta\,\sin\alpha = \sin\alpha\sin\beta$$Step 4: 高さと底辺を足し合わせる
長方形 $QBER$ より $|RE| = |QB| = \sin\alpha\cos\beta$。したがって $P$ の高さ $|PE|$ は、
$$\sin(\alpha+\beta) = |PE| = |PR| + |RE| = \cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta$$また $|EB| = |RQ| = \sin\alpha\sin\beta$ だから、$P$ の水平位置 $|OE|$ は、
$$\cos(\alpha+\beta) = |OE| = |OB| - |EB| = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$加法定理（証明2より）
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad \blacksquare$$注意：この幾何的証明は $0 < \alpha, \beta, \alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$ の場合に有効である。一般の角度については、証明1の方法や後述の回転行列による証明を用いる。
証明3: 回転行列を用いた証明
この証明は線形代数の知識を用いるが、最もエレガントで一般的な証明である。
単位円上の2点を考える。
図10: 単位円上の点 P（角度 α）と点 Q（角度 α+β）
Step 1: 2点の座標を設定
単位円上で、x 軸から反時計回りに角度 $\alpha$ の位置にある点を $P$、角度 $\alpha + \beta$ の位置にある点を $Q$ とする。
$$P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$$ $$Q = (\cos(\alpha+\beta), \sin(\alpha+\beta))$$Step 2: 回転の視点から考える
点 $P$ を原点を中心に角度 $\beta$ だけ回転させると点 $Q$ になる。
回転行列を用いると、点 $(x, y)$ を角度 $\beta$ だけ回転させた点 $(x', y')$ は：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$Step 3: P を β だけ回転
点 $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ に回転行列を適用する：
$$ \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix} $$Step 4: 行列の積を計算
第1成分（x座標）を計算すると：
$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\beta \cdot \cos\alpha + (-\sin\beta) \cdot \sin\alpha$$ $$= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$第2成分（y座標）を計算すると：
$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\beta \cdot \cos\alpha + \cos\beta \cdot \sin\alpha$$ $$= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$加法定理（証明3より）
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \blacksquare$$証明4: 複素数を用いた証明
注意：この証明はオイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を前提とする。オイラーの公式は大学数学（複素解析）で厳密に証明される。高校数学の範囲で理解したい場合は、証明1 または 証明2 を参照されたい。
この証明はオイラーの公式を用いた最も簡潔でエレガントな方法である。複素指数関数の性質から加法定理が自然に導かれる。
オイラーの公式
$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$ここで $i$ は虚数単位（$i^2 = -1$）である。
図11: 複素平面上の $e^{i\theta}$（実部が $\cos\theta$、虚部が $\sin\theta$）
Step 1: 指数法則を適用
複素指数関数は通常の指数法則を満たす：
$$e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta}$$Step 2: 左辺をオイラーの公式で展開
$$e^{i(\alpha + \beta)} = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$$Step 3: 右辺をオイラーの公式で展開
$$e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)$$複素数の積を計算する：
$$= \cos\alpha\cos\beta + i\cos\alpha\sin\beta + i\sin\alpha\cos\beta + i^2\sin\alpha\sin\beta$$$i^2 = -1$ より：
$$= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$$Step 4: 実部と虚部を比較
左辺と右辺を等置する：
$$\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$$複素数が等しいとき、実部どうし・虚部どうしが等しいから：
- 実部： $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
- 虚部： $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
加法定理（証明4より）
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \blacksquare$$この証明の美しさ：複素数を使うと、cos と sin の加法定理が「1つの等式」$e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} e^{i\beta}$ から同時に導かれる。これは三角関数と複素指数関数の深いつながりを示している。
減法公式の導出
加法定理で $\beta$ を $-\beta$ に置き換えると、減法公式が得られる。
負角の公式
三角関数の偶奇性より：
$$\cos(-\beta) = \cos\beta, \quad \sin(-\beta) = -\sin\beta$$これを加法定理に代入すると：
減法公式
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$tan の加法定理
$\tan$ の加法定理は、$\sin$ と $\cos$ の加法定理から導出できる。
導出
$$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$$ $$= \dfrac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}$$分子・分母を $\cos\alpha\cos\beta$ で割ると：
$$= \dfrac{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 - \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}}$$tan の加法定理
$$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$$同様に、減法公式は：
$$\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$$例題
例題1: sin 75° の値を求めよ
問題
加法定理を用いて $\sin 75°$ の値を求めよ。
Step 1: 角度を分解する
$75° = 45° + 30°$ と分解する。
Step 2: sin の加法定理を適用する
$$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°$$Step 3: 既知の値を代入する
$$= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}$$結果
$$\sin 75° = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$例題2: cos 15° の値を求めよ
問題
加法定理を用いて $\cos 15°$ の値を求めよ。
Step 1: 角度を分解する
$15° = 45° - 30°$ と分解する。
Step 2: cos の減法公式を適用する
$$\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°$$Step 3: 既知の値を代入する
$$= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}$$結果
$$\cos 15° = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$（$\sin 75° = \cos 15°$ であることも確認できる）
例題3: tan 75° の値を求めよ
問題
加法定理を用いて $\tan 75°$ の値を求めよ。
Step 1: 角度を分解する
$75° = 45° + 30°$ と分解する。
Step 2: tan の加法定理を適用する
$$\tan 75° = \tan(45° + 30°) = \dfrac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45°\tan 30°}$$Step 3: 既知の値を代入する
$$= \dfrac{1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$$Step 4: 有理化する
$$= \dfrac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{2}$$結果
$$\tan 75° = 2 + \sqrt{3}$$練習問題
問題 1
加法定理を用いて $\sin 105°$ の値を求めよ。
ヒント
$105° = 60° + 45°$ と分解して、$\sin$ の加法定理を適用する。
解答例
問題 2
$\cos 75°$ の値を加法定理で求めよ。
ヒント
$75° = 45° + 30°$ として $\cos$ の加法定理を使う。$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ に注意。
解答例
問題 3
$\tan 15°$ の値を加法定理で求めよ。
ヒント
$15° = 45° - 30°$ として $\tan$ の減法公式を使う。最後に分母を有理化する。
解答例
有理化すると：
$$= \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = 2 - \sqrt{3}$$問題 4
$\alpha$ が第1象限の角で $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ のとき、$\sin\!\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right)$ の値を求めよ。
ヒント
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ から $\cos\alpha$ を求め（第1象限なので正）、加法定理を適用する。
解答例
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$（第1象限より正）
$$\sin\!\left(\alpha + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{3} + \cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{3}$$ $$= \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 + 4\sqrt{3}}{10}$$まとめ
加法定理一覧
加法公式：
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$$減法公式：
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$$参考文献
よくある質問
Q1: 加法定理とは何か
A: 加法定理とは、2つの角の和や差の三角関数を、それぞれの角の三角関数の積の組み合わせで表す公式である。例えば sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ のように表される。
Q2: sin(α+β) の公式は何か
A: sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ である。これは加法定理の基本公式の一つで、2つの角の和の正弦を、各角の正弦・余弦の積の和で表す。
Q3: 加法定理の証明方法にはどのようなものがあるか
A: 主な証明方法には、(1) 単位円上の2点間の距離を利用する方法、(2) 直角三角形を用いた幾何的証明、(3) 回転行列を用いた証明、(4) 複素数（オイラーの公式）を用いた証明がある。
Q4: 加法定理はどのような場面で使われるか
A: 加法定理は、特殊な角度の三角関数の値を求めるとき（例: sin 75° = sin(45°+30°)）、倍角・半角の公式の導出、三角関数の合成、微積分での計算など、数学の多くの場面で活用される。