第5章: 2倍角・半角公式
概要
2倍角公式と半角公式は、加法定理から直接導かれる重要な公式である。 積分や方程式を解く際に頻繁に使われる。
前提：加法定理
以下の加法定理を用いる（第4章参照）：
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$2倍角公式
加法定理で $\alpha = \beta = \theta$ と置くことで、2倍角の公式が得られる。
sin 2θ の証明
Step 1: 加法定理に α = β = θ を代入
$$\sin 2\theta = \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta$$Step 2: 整理
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$図5.1: sin 2θ と sin θ, cos θ の関係（θ = 40° の例）
sin の2倍角公式
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \quad \blacksquare$$cos 2θ の証明
Step 1: 加法定理に α = β = θ を代入
$$\cos 2\theta = \cos(\theta + \theta) = \cos\theta\cos\theta - \sin\theta\sin\theta$$Step 2: 整理
$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$この式は、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使って変形できる。
変形1: sin² を消去
$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入：
$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$$変形2: cos² を消去
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入：
$$\cos 2\theta = (1 - \sin^2\theta) - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$$図5.2: cos 2θ の3つの等価な表現
cos の2倍角公式（3つの形）
\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ \cos 2\theta &= 2\cos^2\theta - 1 \label{eq:cos2theta-form2} \\ \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2\theta \label{eq:cos2theta-form3} \quad \blacksquare \end{align}tan 2θ の証明
Step 1: tan の加法定理に α = β = θ を代入
$$\tan 2\theta = \tan(\theta + \theta) = \frac{\tan\theta + \tan\theta}{1 - \tan\theta \cdot \tan\theta}$$Step 2: 整理
$$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$tan の2倍角公式
$$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \quad \blacksquare$$半角公式
2倍角公式を変形することで、半角の公式が得られる。
cos²(θ/2) の証明
Step 1: 2倍角公式から出発
式 \eqref{eq:cos2theta-form2} の $\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ で置き換えると、左辺は $\cos\!\left(2 \cdot \dfrac{\theta}{2}\right) = \cos\theta$ となる：
$$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$$Step 2: cos²(θ/2) について解く
$$2\cos^2\frac{\theta}{2} = 1 + \cos\theta$$ $$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$sin²(θ/2) の証明
Step 1: 2倍角公式から出発
同様に、式 \eqref{eq:cos2theta-form3} の $\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ で置き換える：
$$\cos\theta = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}$$Step 2: sin²(θ/2) について解く
$$2\sin^2\frac{\theta}{2} = 1 - \cos\theta$$ $$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$$半角公式
$$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$$ $$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$tan(θ/2) の証明
方法1: sin と cos の比から
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}{\dfrac{1+\cos\theta}{2}} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$$方法2: 別の形に変形
分子・分母に $(1-\cos\theta)$ を掛けて：
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{(1-\cos\theta)^2}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)} = \frac{(1-\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta} = \frac{(1-\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}$$両辺の平方根を取ると本来 $\pm$ が付くが、符号は自動的に決まる。例えば $0 < \theta < \pi$ のとき、$\tan\dfrac{\theta}{2} > 0$ であり、$1-\cos\theta > 0$, $\sin\theta > 0$ より右辺も正である。一般の $\theta$ でも $1-\cos\theta \geq 0$ と $\sin\theta$ の符号により、$\tan\dfrac{\theta}{2}$ の符号と一致する。したがって：
$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$方法3: さらに別の形
同様に、分子・分母に $(1+\cos\theta)$ を掛けると：
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{(1+\cos\theta)^2} = \frac{1-\cos^2\theta}{(1+\cos\theta)^2} = \frac{\sin^2\theta}{(1+\cos\theta)^2}$$両辺の平方根を取ると：
$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$$（$1+\cos\theta$ は常に非負であるため、この形でも符号は自動的に正しくなる）
tan の半角公式（3つの形）
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$$ $$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \quad \blacksquare$$3倍角公式
2倍角公式と加法定理を組み合わせて、3倍角の公式を導出できる。
sin 3θ の証明
Step 1: 3θ = 2θ + θ と分解
$$\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta)$$Step 2: 加法定理を適用
$$= \sin 2\theta \cos\theta + \cos 2\theta \sin\theta$$Step 3: 2倍角公式を代入
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を使う：
$$= 2\sin\theta\cos\theta \cdot \cos\theta + (1 - 2\sin^2\theta) \cdot \sin\theta$$ $$= 2\sin\theta\cos^2\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta$$Step 4: cos²θ = 1 - sin²θ を代入して整理
$$= 2\sin\theta(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta - 2\sin^3\theta$$ $$= 2\sin\theta - 2\sin^3\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta$$ $$= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$cos 3θ の証明
Step 1: 加法定理を適用
$$\cos 3\theta = \cos(2\theta + \theta) = \cos 2\theta \cos\theta - \sin 2\theta \sin\theta$$Step 2: 2倍角公式を代入
$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を使う：
$$= (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta \cdot \sin\theta$$ $$= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2\sin^2\theta\cos\theta$$