2倍角の公式
半角公式・3倍角公式も収録
概要
2倍角公式と半角公式は、加法定理から直接導かれる重要な公式である。 積分や方程式を解く際に頻繁に使われる。
前提：加法定理
以下の加法定理を用いる（第4章参照）：
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$2倍角公式
加法定理で $\alpha = \beta = \theta$ と置くことで、2倍角の公式が得られる。
sin 2θ の証明
Step 1: 加法定理に α = β = θ を代入
$$\sin 2\theta = \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta$$Step 2: 整理
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$図5.1: sin 2θ と sin θ, cos θ の関係（θ = 40° の例）。
単位円上で角度 2θ の点の y 座標が sin 2θ であり、ここではその長さを垂線で示している。
sin の2倍角公式
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta \quad \blacksquare$$cos 2θ の証明
Step 1: 加法定理に α = β = θ を代入
$$\cos 2\theta = \cos(\theta + \theta) = \cos\theta\cos\theta - \sin\theta\sin\theta$$Step 2: 整理
$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$この式は、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使って変形できる。
変形1: sin² を消去
$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を代入：
$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$$変形2: cos² を消去
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入：
$$\cos 2\theta = (1 - \sin^2\theta) - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$$図5.2: $\cos 2\theta$ の3つの等価な表現
cos の2倍角公式（3つの形）
\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\ \cos 2\theta &= 2\cos^2\theta - 1 \label{eq:cos2theta-form2} \\ \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2\theta \label{eq:cos2theta-form3} \quad \blacksquare \end{align}tan 2θ の証明
Step 1: tan の加法定理に α = β = θ を代入
$$\tan 2\theta = \tan(\theta + \theta) = \frac{\tan\theta + \tan\theta}{1 - \tan\theta \cdot \tan\theta}$$Step 2: 整理
$$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$tan の2倍角公式
$$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \quad \blacksquare$$半角公式
2倍角公式を変形することで、半角の公式が得られる。
cos²(θ/2) の証明
Step 1: 2倍角公式から出発
式 \eqref{eq:cos2theta-form2} の $\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ で置き換えると、左辺は $\cos\!\left(2 \cdot \dfrac{\theta}{2}\right) = \cos\theta$ となる：
$$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$$Step 2: cos²(θ/2) について解く
$$2\cos^2\frac{\theta}{2} = 1 + \cos\theta$$ $$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$sin²(θ/2) の証明
Step 1: 2倍角公式から出発
同様に、式 \eqref{eq:cos2theta-form3} の $\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ で置き換える：
$$\cos\theta = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}$$Step 2: sin²(θ/2) について解く
$$2\sin^2\frac{\theta}{2} = 1 - \cos\theta$$ $$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$$半角公式
$$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$$ $$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$tan(θ/2) の証明
方法1: sin と cos の比から
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}{\dfrac{1+\cos\theta}{2}} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$$方法2: 別の形に変形
分子・分母に $(1-\cos\theta)$ を掛けて：
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{(1-\cos\theta)^2}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)} = \frac{(1-\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta} = \frac{(1-\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}$$両辺の平方根を取ると本来 $\pm$ が付くが、符号は自動的に決まる。$1-\cos\theta$ は常に $0$ 以上であるため、分母 $\sin\theta$ の符号が右辺全体の符号を決める。これは $\tan\dfrac{\theta}{2}$ の符号と常に一致するので、$\pm$ を選ぶ必要はない。したがって：
$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$方法3: さらに別の形
同様に、分子・分母に $(1+\cos\theta)$ を掛けると：
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{(1+\cos\theta)^2} = \frac{1-\cos^2\theta}{(1+\cos\theta)^2} = \frac{\sin^2\theta}{(1+\cos\theta)^2}$$両辺の平方根を取ると：
$$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$$（$1+\cos\theta$ は常に非負であるため、この形でも符号は自動的に正しくなる）
tan の半角公式（3つの形）
$$\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$$ $$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \quad \blacksquare$$3倍角公式
2倍角公式と加法定理を組み合わせて、3倍角の公式を導出できる。
sin 3θ の証明
Step 1: 3θ = 2θ + θ と分解
$$\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta)$$Step 2: 加法定理を適用
$$= \sin 2\theta \cos\theta + \cos 2\theta \sin\theta$$Step 3: 2倍角公式を代入
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$（最終的に $\sin\theta$ のみで表すためこの形を選ぶ）を使う：
$$= 2\sin\theta\cos\theta \cdot \cos\theta + (1 - 2\sin^2\theta) \cdot \sin\theta$$ $$= 2\sin\theta\cos^2\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta$$Step 4: cos²θ = 1 - sin²θ を代入して整理
$$= 2\sin\theta(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta - 2\sin^3\theta$$ $$= 2\sin\theta - 2\sin^3\theta + \sin\theta - 2\sin^3\theta$$ $$= 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$cos 3θ の証明
Step 1: 加法定理を適用
$$\cos 3\theta = \cos(2\theta + \theta) = \cos 2\theta \cos\theta - \sin 2\theta \sin\theta$$Step 2: 2倍角公式を代入
$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$（最終的に $\cos\theta$ のみで表すためこの形を選ぶ）、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を使う：
$$= (2\cos^2\theta - 1)\cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta \cdot \sin\theta$$ $$= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2\sin^2\theta\cos\theta$$Step 3: sin²θ = 1 - cos²θ を代入して整理
$$= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2(1 - \cos^2\theta)\cos\theta$$ $$= 2\cos^3\theta - \cos\theta - 2\cos\theta + 2\cos^3\theta$$ $$= 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$3倍角公式
$$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$ $$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta \quad \blacksquare$$2倍角公式を使いこなすコツ
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
「2・シン・コス」
係数の 2 が先頭にあり、sin と cos が 1 つずつ掛け合わされる。 「に・しん・こす」とそのまま唱えるのが最も確実である。 3 つの要素しかないため、暗記負荷は最も低い。
cos 2θ — 3 つの形の使い分け
どの形を使うか？
cos 2θ には 3 つの等価な表現があるが、場面に応じて使い分けると計算が楽になる。
- sin を消したいとき → $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$（cos だけの式）
- cos を消したいとき → $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$（sin だけの式）
- 両方残してよいとき → $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$（基本形）
逆に読めば半角公式になる: $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos 2\theta}{2}$、 $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$。
tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
加法定理から 3 秒で導出
tan の加法定理 $\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$ で $\alpha = \beta = \theta$ と置くだけなので、加法定理を覚えていれば自力で導出できる。 暗記に頼るより、加法定理から 3 秒で出せるようにしておく方が実戦的である。
例題
例題 1: sin 2θ, cos 2θ の値
問題: $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$（$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$）のとき、$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の値を求めよ。
Step 1: cos θ を求める
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$。
$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ より $\cos\theta > 0$ なので、$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$。
Step 2: 2倍角公式を適用
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$ $$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$$答え
$$\sin 2\theta = \frac{24}{25}, \quad \cos 2\theta = \frac{7}{25}$$例題 2: 三角方程式
問題: $\cos 2\theta + 3\cos\theta + 2 = 0$ を解け（$0 \leq \theta < 2\pi$）。
Step 1: cos 2θ を cos θ だけの式に変換
$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を使う（sin を消したいので cos だけの形を選ぶ）：
$$(2\cos^2\theta - 1) + 3\cos\theta + 2 = 0$$ $$2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 1 = 0$$Step 2: cos θ の2次方程式として解く
$t = \cos\theta$ と置くと $2t^2 + 3t + 1 = 0$。因数分解して：
$$(2t + 1)(t + 1) = 0$$$t = -\dfrac{1}{2}$ または $t = -1$。
Step 3: θ を求める
$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ → $\theta = \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{4\pi}{3}$
$\cos\theta = -1$ → $\theta = \pi$
答え
$$\theta = \frac{2\pi}{3},\; \pi,\; \frac{4\pi}{3}$$例題 3: 半角公式の応用
問題: $\sin^2 15°$ の値を半角公式で求めよ。
Step 1: 半角公式を適用
$15° = \dfrac{30°}{2}$ なので、$\sin^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 - \cos\theta}{2}$ で $\theta = 30°$：
$$\sin^2 15° = \frac{1 - \cos 30°}{2} = \frac{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}$$Step 2: 整理
$$= \frac{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$答え
$$\sin^2 15° = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$練習問題
問題 1
$\cos\theta = \dfrac{1}{3}$（$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$）のとき、$\sin 2\theta$ の値を求めよ。
ヒント
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ から $\sin\theta$ を求め、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ に代入する。
解答例
$\sin^2\theta = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$、$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ より $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$。
$$\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$$問題 2
方程式 $\cos 2\theta - \cos\theta = 0$ を解け（$0 \leq \theta < 2\pi$）。
ヒント
$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ で置き換え、$\cos\theta$ の 2 次方程式にする。
解答例
$2\cos^2\theta - 1 - \cos\theta = 0$ → $2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$。
$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0$ より $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ または $\cos\theta = 1$。
$$\theta = 0,\; \frac{2\pi}{3},\; \frac{4\pi}{3}$$問題 3
$\cos^2 75°$ の値を半角公式を用いて求めよ。
ヒント
$75° = \dfrac{150°}{2}$ と見て $\cos^2\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 + \cos\theta}{2}$ に $\theta = 150°$ を代入する。
解答例
問題 4
$\tan\theta = 2$ のとき、$\tan 2\theta$ の値を求めよ。
ヒント
$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ にそのまま代入する。
解答例
問題 5
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき、$\sin 2\theta$ の値を求めよ。
ヒント
両辺を 2 乗すると $\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$ が現れる。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ と $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を使う。
解答例
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + \sin 2\theta$
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 + \sin 2\theta$ より
$$\sin 2\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$応用場面
積分での次数下げ
$\sin^2 x$ や $\cos^2 x$ を含む積分は、半角公式（= cos 2θ の変形）で次数を下げるのが定石である：
$$\int \sin^2 x\, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$三角方程式・不等式
$\cos 2\theta$ を $\cos\theta$ の 2 次式に変換することで、三角方程式を代数方程式に帰着できる（例題 2 参照）。
まとめ
2倍角公式
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ $$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$$ $$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$半角公式
$$\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$$ $$\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}$$ $$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$$3倍角公式
$$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$ $$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$コラム: なぜ「1/3 角公式」はないのか？
半角公式は 2 倍角公式を「逆に解く」ことで得られた。 では 3 倍角公式を逆に解けば「1/3 角公式」が得られるのではないか？ 結論から言うと、一般には閉じた形では書けない。
半角公式が作れる理由
半角公式の導出を振り返ると、出発点は
$$\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$$であった。これは $t = \cos\dfrac{\theta}{2}$ に関する 2 次方程式 $2t^2 - 1 = \cos\theta$ であり、 解の公式で $t = \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}$ とすぐに求まる。
1/3 角で困る理由
3 倍角公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を逆に読むと、 $t = \cos\dfrac{\theta}{3}$ は次の 3 次方程式を満たす：
$$4t^3 - 3t = \cos\theta$$3 次方程式にはカルダノの公式（16 世紀）があるが、 この方程式では 3 つの実数解がすべて存在するケースが多く、 そのとき公式の中に 虚数の立方根 が現れる （casus irreducibilis）。 実数だけの四則演算と冪根では表現できないのである。
角の三等分問題との関係 — 古代ギリシャの三大作図不能問題のひとつ「任意の角の三等分」が 定規とコンパスだけでは不可能であることは、 まさにこの 3 次方程式が 2 次の冪根だけでは解けないことに対応している。 半角（= 角の二等分）は 2 次方程式なので作図可能であり、 だからこそ半角公式は簡潔に書ける。
つまり、半角公式が存在して 1/3 角公式が存在しないのは偶然ではなく、 背後にある方程式の次数が 2 か 3 かという本質的な違いに由来する。