第1章

三角関数の復習

フーリエ解析の基礎となる三角関数

はじめに

フーリエ解析は、複雑な関数を「正弦波（サイン波とコサイン波）」の重ね合わせで表現する技法である。そのため、三角関数の性質をしっかり理解しておくことが不可欠である。

本章では、三角関数の定義、グラフ、そして重要な公式を復習する。

原点を中心とする半径 1 の円（単位円）上の点 $P$ を考える。$x$ 軸の正の方向から反時計回りに角度 $\theta$ だけ回転した位置にある点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると：

図1: 単位円と三角関数の定義

$$\cos\theta \triangleq x, \quad \sin\theta \triangleq y$$

また、$\tan\theta$ は次のように定義される：

$$\tan\theta \triangleq \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$$

単位円上の代表的な角度における点の位置を示す：

図2: 単位円上の代表的な角度

$\theta$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$

図3: サイン関数とコサイン関数のグラフ

サインとコサインの関係

コサイン関数はサイン関数を $\frac{\pi}{2}$ だけ左にずらしたもの：

$$\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$$

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}$$

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\}$$

$$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\}$$

$m, n$ を整数とするとき、区間 $[-\pi, \pi]$ での積分について：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\cos(nx)\,dx = 0$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx)\,dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n \neq 0) \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx)\,dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ \pi & (m = n \neq 0) \\ 2\pi & (m = n = 0) \end{cases}$$

この「直交性」が、フーリエ係数を計算する際の鍵となる。