フーリエ変換の性質
変換の基本法則
はじめに
フーリエ変換には多くの有用な性質がある。これらを理解すると、複雑な変換も既知の変換から導出でき、微分方程式の解法にも応用できる。
線形性
$$\mathcal{F}[\alpha f + \beta g] = \alpha\mathcal{F}[f] + \beta\mathcal{F}[g]$$
フーリエ変換は線形作用素である。これは積分の線形性から直接従う。
シフト定理
時間シフト
$$\mathcal{F}[f(x - a)] = e^{-i\omega a}\hat{f}(\omega)$$
時間領域でのシフトは、周波数領域での位相回転に対応する。振幅スペクトル $|\hat{f}(\omega)|$ は変化しない。
周波数シフト
$$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 x}f(x)] = \hat{f}(\omega - \omega_0)$$
時間領域での変調（複素指数の掛け算）は、周波数領域でのシフトに対応する。
スケーリング
$$\mathcal{F}[f(ax)] = \frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\omega}{a}\right) \quad (a \neq 0)$$
時間領域での圧縮（$|a| > 1$）は周波数領域での拡大に対応し、逆も同様。
不確定性原理
信号を時間的に短くすると、周波数帯域は広がる。時間と周波数を同時に狭い範囲に局在させることはできない。これは量子力学の不確定性原理と同じ数学的構造を持つ。
微分との関係
時間微分
$$\mathcal{F}[f'(x)] = i\omega\hat{f}(\omega)$$
$$\mathcal{F}[f^{(n)}(x)] = (i\omega)^n\hat{f}(\omega)$$
微分は $i\omega$ の掛け算に対応する。これにより、微分方程式が代数方程式に変換される。
周波数微分
$$\mathcal{F}[xf(x)] = i\frac{d\hat{f}}{d\omega}$$
$$\mathcal{F}[x^n f(x)] = i^n\frac{d^n\hat{f}}{d\omega^n}$$
積分との関係
$$\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt\right] = \frac{\hat{f}(\omega)}{i\omega} + \pi\hat{f}(0)\delta(\omega)$$
$\hat{f}(0) = 0$（$f$ の積分が $0$）の場合は単純に：
$$\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt\right] = \frac{\hat{f}(\omega)}{i\omega}$$
複素共役・反転
複素共役
$$\mathcal{F}[\overline{f(x)}] = \overline{\hat{f}(-\omega)}$$
特に $f(x)$ が実関数のとき：
$$\hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}$$
これをエルミート対称性という。実関数のフーリエ変換は、正の周波数部分だけで完全に決まる。
時間反転
$$\mathcal{F}[f(-x)] = \hat{f}(-\omega)$$
パーセバル・プランシュレルの定理
プランシュレルの定理
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2\,d\omega$$
時間領域と周波数領域でエネルギーが保存される。
パーセバルの等式（一般化）
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g(x)}\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\overline{\hat{g}(\omega)}\,d\omega$$
性質のまとめ
| 時間領域 | 周波数領域 |
|---|---|
| $f(x - a)$ | $e^{-i\omega a}\hat{f}(\omega)$ |
| $e^{i\omega_0 x}f(x)$ | $\hat{f}(\omega - \omega_0)$ |
| $f(ax)$ | $\frac{1}{|a|}\hat{f}(\omega/a)$ |
| $f'(x)$ | $i\omega\hat{f}(\omega)$ |
| $xf(x)$ | $i\frac{d\hat{f}}{d\omega}$ |
| $\overline{f(x)}$ | $\overline{\hat{f}(-\omega)}$ |
| $f(-x)$ | $\hat{f}(-\omega)$ |
まとめ
- フーリエ変換は線形作用素
- 時間シフト ↔ 位相回転、周波数シフト ↔ 変調
- 時間圧縮 ↔ 周波数拡大（不確定性原理）
- 微分 ↔ $i\omega$ の掛け算
- 実関数のフーリエ変換はエルミート対称
- プランシュレルの定理：エネルギー保存