中級

フーリエ解析 中級

大学3-4年レベル

この章で学ぶこと

中級編では、フーリエ変換を導入し、非周期関数を含む連続スペクトルの世界へ進む。畳み込み定理、サンプリング定理といった信号処理の基礎を学び、離散フーリエ変換（DFT）と高速フーリエ変換（FFT）の理論と実装を理解する。

前提知識

  • 初級編の内容（フーリエ級数、複素フーリエ級数）
  • 複素解析の基礎（複素関数、留数）
  • 広義積分の収束

目次

本編

  1. 1 フーリエ変換の定義 非周期関数への拡張、連続スペクトルの概念
  2. 2 フーリエ変換の性質 線形性、シフト、スケーリング、微分・積分との関係
  3. 3 重要なフーリエ変換 ガウス関数、矩形関数、デルタ関数のフーリエ変換
  4. 4 畳み込み定理 畳み込みの定義、畳み込み定理とその応用
  5. 5 標本化定理（シャノンの定理） 帯域制限信号の復元条件、デルタ関数による証明、sinc補間、臨界サンプリング、エイリアシング
  6. 6 離散フーリエ変換 DFTの定義と性質、周期性と対称性
  7. 7 高速フーリエ変換 FFTアルゴリズム、計算量の削減
  8. 8 窓関数とスペクトル漏れ 有限長データの扱い、各種窓関数の特性

補足

  1. 畳み込み定理（詳説） 畳み込み定理の厳密な証明、離散版、FFTによる高速畳み込み
  2. パワースペクトル パワースペクトル密度の定義、ウィーナー＝ヒンチンの定理、推定法、応用
  3. マルチレート信号処理とオーディオ規格 オーバーサンプリング、デシメーション、補間、ADC設計、CD/DAT/ハイレゾ規格比較
  4. プランシュレルの定理 フーリエ変換のエネルギー保存則、パーセバルの等式との関係、DFTのユニタリ性

到達目標

  • フーリエ変換の定義と基本性質を理解する
  • 重要な関数のフーリエ変換を計算できる
  • 畳み込み定理を応用問題に適用できる
  • サンプリング定理の意味と限界を理解する
  • DFTとFFTの原理を説明できる
  • 窓関数の役割と選び方を理解する