フーリエ変換の定義
周期関数から非周期関数へ
はじめに
フーリエ級数は周期関数を扱う道具だが、実際には非周期的な信号も多い。フーリエ変換は、フーリエ級数を非周期関数に拡張したもので、連続的な周波数スペクトルを与える。
フーリエ級数からの導出
周期 $2L$ の関数の複素フーリエ級数：
$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in\pi x/L}, \quad c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-in\pi x/L}\,dx$$
$\omega_n = \frac{n\pi}{L}$（離散的な周波数）、$\Delta\omega = \frac{\pi}{L}$ とおくと：
$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{2\pi}\left[\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\omega_n t}\,dt\right]e^{i\omega_n x}$$
$L \to \infty$ とすると、$\Delta\omega \to d\omega$、和は積分に移行：
$$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt\right]e^{i\omega x}\,d\omega$$
フーリエ変換の定義
フーリエ変換
$$\hat{f}(\omega) = \mathcal{F}[f](\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx$$
逆フーリエ変換
$$f(x) = \mathcal{F}^{-1}[\hat{f}](x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega$$
記法について
- $\hat{f}(\omega)$ または $F(\omega)$：$f(x)$ のフーリエ変換
- $\omega$：角周波数（$\omega = 2\pi\nu$、$\nu$ は通常の周波数）
係数の取り方
文献によって係数の取り方が異なる。よく使われる規約：
- 物理学：本書の定義（$1$ と $\frac{1}{2\pi}$）
- 工学：$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ と $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$（対称的）
- 周波数 $\nu$ を使う：$\int f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt$ と $\int \hat{f}(\nu)e^{2\pi i\nu t}\,d\nu$
存在条件
フーリエ変換が存在するための十分条件：
絶対可積分
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\,dx < \infty$$
この条件を満たす関数を $L^1(\mathbb{R})$ に属するという。
二乗可積分
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx < \infty$$
この条件を満たす関数を $L^2(\mathbb{R})$ に属するという。プランシュレルの定理により、$L^2$ 関数のフーリエ変換も定義できる。
連続スペクトル
フーリエ級数では、離散的な周波数 $\omega_n = \frac{n\pi}{L}$ での振幅が与えられた。フーリエ変換では、連続的なすべての周波数 $\omega$ に対してスペクトルが定義される。
パワースペクトル
$$S(\omega) = |\hat{f}(\omega)|^2$$
各周波数成分のエネルギー密度を表す。
位相スペクトル
$$\phi(\omega) = \arg(\hat{f}(\omega))$$
各周波数成分の位相を表す。
周期 $L \to \infty$ で離散スペクトルから連続スペクトルへ移行
例題
例1：指数減衰関数
$$f(x) = \begin{cases} e^{-ax} & (x \geq 0, a > 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}$$
$$\hat{f}(\omega) = \int_0^{\infty}e^{-ax}e^{-i\omega x}\,dx = \int_0^{\infty}e^{-(a+i\omega)x}\,dx = \frac{1}{a + i\omega}$$
例2：両側指数減衰
$$f(x) = e^{-a|x|} \quad (a > 0)$$
$$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|x|}e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-\infty}^{0}e^{ax}e^{-i\omega x}\,dx + \int_0^{\infty}e^{-ax}e^{-i\omega x}\,dx$$
$$= \frac{1}{a - i\omega} + \frac{1}{a + i\omega} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$$
逆変換の条件
逆フーリエ変換で元の関数に戻るには：
- $f(x)$ が連続な点では $f(x)$ に戻る
- 不連続点では $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ に戻る
これはフーリエ級数の収束定理の拡張版である。
まとめ
- フーリエ変換：$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx$
- 逆フーリエ変換：$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega$
- 非周期関数に対する連続スペクトルを与える
- 絶対可積分または二乗可積分な関数に適用できる