Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）公式とは何ですか？

非可換な行列 X, Y に対し log(e^X e^Y) を入れ子の Lie 括弧の無限級数で表す公式です。最初の数項は Z = X + Y + (1/2)[X,Y] + (1/12)([X,[X,Y]] + [Y,[Y,X]]) + … となります。可換な場合（[X,Y]=0）は e^X e^Y = e^{X+Y} に簡約され、冪零 Lie 代数では有限項で打ち切られます。SO(3)/SE(3) 上の合成変換の解析や量子力学で用いられます。

随伴表現（adjoint representation）の微分はなぜ重要ですか？

随伴作用 ad_X(Y) = [X,Y] は BCH 公式や指数写像の微分（dexp 公式）を構成する基本要素です。Ad(e^X) = e^{ad_X} という関係から摂動解析が随伴作用の指数関数に帰着でき、ロボティクスの姿勢推定や SE(3) 上の感度計算に現れます。

Killing 形式と Maurer-Cartan 形式は何に使いますか？

Killing 形式 B(X,Y) = tr(ad_X ad_Y) は Lie 代数上の不変双線形形式で、半単純性の判定（Cartan の判定法）に用います。Maurer-Cartan 形式は Lie 群上の左不変 1 形式 θ = g^{-1}dg で、Maurer-Cartan 方程式 dθ + θ∧θ = 0 は θ が平坦接続（曲率 0）であることを表します。接続・曲率の記述や幾何的制御理論に用いられます。

BCH公式と摂動 | ベクトル微分/行列微分の証明集

11.12 Lie括弧の微分

公式：$\displaystyle\dfrac{\partial}{\partial X_{ij}} [X, Y] = [J^{ij}, Y]$、$\displaystyle\dfrac{\partial}{\partial Y_{ij}} [X, Y] = [X, J^{ij}]$

条件：$X, Y \in \mathbb{R}^{n \times n}$、$[X, Y] = XY - YX$（Lie括弧/交換子）、$J^{ij}$ は $(i,j)$ 成分のみ 1 の単一要素行列

証明

Lie括弧（交換子）の定義より

\begin{equation}[X, Y] = XY - YX \label{eq:11-12-1}\end{equation}

$X_{ij}$ で偏微分する。$Y$ は $X$ に依存しないと仮定する。

\begin{equation}\dfrac{\partial [X, Y]}{\partial X_{ij}} = \dfrac{\partial (XY)}{\partial X_{ij}} - \dfrac{\partial (YX)}{\partial X_{ij}} \label{eq:11-12-2}\end{equation}

4.3 より $\displaystyle\dfrac{\partial X}{\partial X_{ij}} = J^{ij}$ である。

\begin{equation}\dfrac{\partial (XY)}{\partial X_{ij}} = J^{ij} Y \label{eq:11-12-3}\end{equation}

\begin{equation}\dfrac{\partial (YX)}{\partial X_{ij}} = Y J^{ij} \label{eq:11-12-4}\end{equation}

$\eqref{eq:11-12-3}$ と $\eqref{eq:11-12-4}$ を $\eqref{eq:11-12-2}$ に代入する。

\begin{equation}\dfrac{\partial [X, Y]}{\partial X_{ij}} = J^{ij} Y - Y J^{ij} = [J^{ij}, Y] \label{eq:11-12-5}\end{equation}

同様に $Y_{ij}$ で偏微分すると

\begin{equation}\dfrac{\partial [X, Y]}{\partial Y_{ij}} = X J^{ij} - J^{ij} X = [X, J^{ij}] \label{eq:11-12-6}\end{equation}

補足：Lie括弧は双線形かつ反対称 $[X, Y] = -[Y, X]$ であり、Jacobi恒等式 $[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0$ を満たす。この微分公式はLie代数 $\mathfrak{g}$ 上の最適化問題（例：測地線計算）で重要である。

11.13 随伴表現の微分

公式：$\displaystyle\dfrac{d}{dt} \text{Ad}_{e^{tX}}(Y) \Big|_{t=0} = \text{ad}_X(Y) = [X, Y]$

条件：$X, Y \in \mathfrak{g}$（Lie代数）、$\text{Ad}_g(Y) = gYg^{-1}$（随伴表現）、$\text{ad}_X(Y) = [X, Y]$（随伴作用）

証明

Lie群 $G$ の随伴表現は、$g \in G$ と $Y \in \mathfrak{g}$ に対して

\begin{equation}\text{Ad}_g(Y) = gYg^{-1} \label{eq:11-13-1}\end{equation}

$g = e^{tX}$ として $t = 0$ での微分を計算する。

\begin{equation}\dfrac{d}{dt} \text{Ad}_{e^{tX}}(Y) = \dfrac{d}{dt} \left( e^{tX} Y e^{-tX} \right) \label{eq:11-13-2}\end{equation}

積の微分法則を適用する。$\displaystyle\dfrac{d}{dt} e^{tX} = X e^{tX}$ と $\displaystyle\dfrac{d}{dt} e^{-tX} = -X e^{-tX}$ より

\begin{equation}\dfrac{d}{dt} \left( e^{tX} Y e^{-tX} \right) = X e^{tX} Y e^{-tX} + e^{tX} Y (-X) e^{-tX} \label{eq:11-13-3}\end{equation}

\begin{equation}= X e^{tX} Y e^{-tX} - e^{tX} Y X e^{-tX} \label{eq:11-13-4}\end{equation}

$t = 0$ で評価する。$e^{0 \cdot X} = I$ より

\begin{equation}\dfrac{d}{dt} \text{Ad}_{e^{tX}}(Y) \Big|_{t=0} = XY - YX = [X, Y] \label{eq:11-13-5}\end{equation}

これがLie代数の随伴作用 $\text{ad}_X$ の定義である。

\begin{equation}\text{ad}_X(Y) = [X, Y] \label{eq:11-13-6}\end{equation}

補足：随伴表現 $\text{Ad}: G \to \text{GL}(\mathfrak{g})$ はLie群からLie代数の自己同型群への準同型である。その微分が随伴作用 $\text{ad}: \mathfrak{g} \to \text{End}(\mathfrak{g})$ となる。これは $\text{ad}_X$ が $\mathfrak{g}$ 上の線形変換であり、行列表示可能であることを意味する。

11.14 随伴作用の指数関数

公式：$\displaystyle e^{\text{ad}_X}(Y) = \text{Ad}_{e^X}(Y) = e^X Y e^{-X}$

条件：$X, Y \in \mathfrak{g}$（Lie代数）、$e^{\text{ad}_X} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle\dfrac{(\text{ad}_X)^k}{k!}$

証明

$\text{ad}_X$ の $k$ 乗は入れ子のLie括弧として表される。

\begin{equation}(\text{ad}_X)^k(Y) = \underbrace{[X, [X, \cdots [X}_{k \text{ 個}}, Y] \cdots ]] \label{eq:11-14-1}\end{equation}

$f(t) = e^{tX} Y e^{-tX}$ とおき、Taylor展開する。

\begin{equation}f(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{t^k}{k!} f^{(k)}(0) \label{eq:11-14-2}\end{equation}

$f(0) = Y$ である。$f'(t) = X f(t) - f(t) X = [X, f(t)]$ より

\begin{equation}f'(0) = [X, Y] = \text{ad}_X(Y) \label{eq:11-14-3}\end{equation}

帰納的に $f^{(k)}(0) = (\text{ad}_X)^k(Y)$ が示される。

\begin{equation}f^{(k)}(t) = [X, f^{(k-1)}(t)] \label{eq:11-14-4}\end{equation}

\begin{equation}f^{(k)}(0) = [X, f^{(k-1)}(0)] = \text{ad}_X(f^{(k-1)}(0)) = (\text{ad}_X)^k(Y) \label{eq:11-14-5}\end{equation}

$t = 1$ で評価すると

\begin{equation}e^X Y e^{-X} = f(1) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(\text{ad}_X)^k(Y)}{k!} = e^{\text{ad}_X}(Y) \label{eq:11-14-6}\end{equation}

補足：この公式は $\text{Ad}_{e^X} = e^{\text{ad}_X}$ と表せ、Lie群の指数写像とLie代数の随伴作用を結びつける基本的な関係式である。展開すると $e^X Y e^{-X} = Y + [X, Y] + \displaystyle\dfrac{1}{2!}[X, [X, Y]] + \displaystyle\dfrac{1}{3!}[X, [X, [X, Y]]] + \cdots$ となる。

11.15 Baker-Campbell-Hausdorff公式

公式：$\displaystyle e^X e^Y = e^{Z}$、ただし $Z = X + Y + \displaystyle\dfrac{1}{2}[X, Y] + \displaystyle\dfrac{1}{12}[X, [X, Y]] - \displaystyle\dfrac{1}{12}[Y, [X, Y]] + \cdots$

条件：$X, Y \in \mathfrak{g}$（Lie代数）、$\|X\|, \|Y\|$ が十分小さいこと

証明

【方針】2 通りの見方で導く。まず (A) 級数を直接展開して、低次の項が「単なる行列積」から「交換子」へまとまる様子を目で確かめる（最も具体的）。次に (B) 微分方程式でそれを全次数へ系統化する。

【(A) 直接展開による低次項の導出】

$e^X,\ e^Y$ をべき級数に展開して掛け合わせる。

\begin{equation}e^X e^Y = \Bigl(I + X + \tfrac{1}{2}X^2 + \cdots\Bigr)\Bigl(I + Y + \tfrac{1}{2}Y^2 + \cdots\Bigr) \label{eq:11-15-a1}\end{equation}

2 次までの項を集めると

\begin{equation}e^X e^Y = I + (X + Y) + \Bigl(\tfrac{1}{2}X^2 + XY + \tfrac{1}{2}Y^2\Bigr) + O(3) \label{eq:11-15-a2}\end{equation}

$Z = \log(e^X e^Y)$ を求めるため $W = e^X e^Y - I$ とおき、$\log(I + W) = W - \tfrac{1}{2}W^2 + \tfrac{1}{3}W^3 - \cdots$ を用いる。$W$ の最低次は $X + Y$ なので、$W^2$ の 2 次までの寄与は

\begin{equation}W^2 = (X + Y)^2 + O(3) = X^2 + XY + YX + Y^2 + O(3) \label{eq:11-15-a3}\end{equation}

$\eqref{eq:11-15-a2}$ と $\eqref{eq:11-15-a3}$ を $\log(I+W) = W - \tfrac{1}{2}W^2 + \cdots$ に代入する。

\begin{equation}Z = (X + Y) + \Bigl(\tfrac{1}{2}X^2 + XY + \tfrac{1}{2}Y^2\Bigr) - \tfrac{1}{2}\bigl(X^2 + XY + YX + Y^2\bigr) + O(3) \label{eq:11-15-a4}\end{equation}

$X^2,\ Y^2$ の項はちょうど相殺し、$XY,\ YX$ の項だけが残る。

\begin{equation}Z = X + Y + \Bigl(XY - \tfrac{1}{2}XY - \tfrac{1}{2}YX\Bigr) + O(3) = X + Y + \tfrac{1}{2}[X, Y] + O(3) \label{eq:11-15-a5}\end{equation}

2 次の項が交換子 $[X, Y]$ にまとまる——これが BCH 公式の核心である。同じ計算を 3 次まで続けると、Wikipedia 等にある $Z_3 = \tfrac{1}{12}\bigl(X^2Y + XY^2 - 2XYX + Y^2X + YX^2 - 2YXY\bigr)$ が得られ、これは入れ子の交換子に組み替わる。

\begin{equation}Z_3 = \tfrac{1}{12}\bigl([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]]\bigr) \label{eq:11-15-a6}\end{equation}

このように各次数の項が交換子だけで書けることは一般に保証される（存在定理）。係数 $\tfrac{1}{12}$ が現れる理由は、次の (B) でベルヌーイ数 $B_2 = \tfrac{1}{6}$ として自然に説明される。

【(B) 全次数を与える微分方程式】

低次項を手で追う (A) は 4 次以降が急速に煩雑になる。そこで $t$ を導入し、$Z(t) = \log(e^{tX} e^Y)$ が満たす微分方程式を導いて全次数を一度に扱う。$e^{Z(t)} = e^{tX} e^Y$ の両辺を $t$ で微分する。

\begin{equation}\dfrac{d}{dt} e^{Z(t)} = X e^{tX} e^Y = X e^{Z(t)} \label{eq:11-15-1}\end{equation}

行列指数関数の微分公式（11.7、右自明化 $d(e^{Z})\,e^{-Z} = \dfrac{e^{\text{ad}_Z}-1}{\text{ad}_Z}(dZ)$）より

\begin{equation}\dfrac{d}{dt} e^{Z(t)} = \dfrac{e^{\text{ad}_{Z(t)}} - 1}{\text{ad}_{Z(t)}} \left( \dfrac{dZ}{dt} \right) e^{Z(t)} \label{eq:11-15-2}\end{equation}

$\eqref{eq:11-15-1}$ と $\eqref{eq:11-15-2}$ を比較すると

\begin{equation}\dfrac{e^{\text{ad}_{Z(t)}} - 1}{\text{ad}_{Z(t)}} \left( \dfrac{dZ}{dt} \right) = X \label{eq:11-15-3}\end{equation}

逆作用素 $\displaystyle\dfrac{\text{ad}_{Z(t)}}{e^{\text{ad}_{Z(t)}} - 1}$ を両辺に作用させる。この関数は $\displaystyle\dfrac{z}{e^{z} - 1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle\dfrac{B_k}{k!} z^k$（$B_k$ はベルヌーイ数、$B_0=1,\ B_1=-\tfrac{1}{2},\ B_2=\tfrac{1}{6},\ B_4=-\tfrac{1}{30},\dots$）と展開される。

\begin{equation}\dfrac{dZ}{dt} = \dfrac{\text{ad}_{Z(t)}}{e^{\text{ad}_{Z(t)}} - 1}(X) \label{eq:11-15-4}\end{equation}

初期条件は $Z(0) = Y$ である。$\eqref{eq:11-15-4}$ の右辺に展開 $\displaystyle\dfrac{z}{e^{z}-1} = 1 - \dfrac{z}{2} + \dfrac{z^2}{12} + O(z^4)$ を代入し、$t = 0$（このとき $Z = Y$）で評価すると、初期の変化率は

\begin{equation}\left.\dfrac{dZ}{dt}\right|_{t=0} = \dfrac{\text{ad}_Y}{e^{\text{ad}_Y} - 1}(X) = X - \dfrac{1}{2}[Y, X] + \dfrac{1}{12}[Y, [Y, X]] + O(4) \label{eq:11-15-5}\end{equation}

\begin{equation}= X + \dfrac{1}{2}[X, Y] + \dfrac{1}{12}[Y, [Y, X]] + O(4) \label{eq:11-15-5b}\end{equation}

$\tfrac{1}{2}[X,Y]$ の係数が (A) の $\eqref{eq:11-15-a5}$ と、$\tfrac{1}{12}$ がベルヌーイ数 $B_2=\tfrac{1}{6}$ から来ることがここで見て取れる。

【$t=1$ での結果（5次まで）】

$t$ を $0 \to 1$ まで積分すれば $Z = Z(1)$ が定まる。各次数に展開して積分する手続き（機械的だが項数が多い）を進めると、5 次までの完全な展開は次の既知の結果（Dynkin 級数）となる。1〜4 次は $\eqref{eq:11-15-7}$〜$\eqref{eq:11-15-8}$、5 次は $\eqref{eq:11-15-9}$〜$\eqref{eq:11-15-11}$ で、後者は下の対称形 $C_5$ を非対称な入れ子で書き下したものである。

\begin{equation}Z = X + Y + \dfrac{1}{2}[X, Y] + \dfrac{1}{12}\bigl([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]]\bigr) \label{eq:11-15-7}\end{equation}

\begin{equation}- \dfrac{1}{24}[Y, [X, [X, Y]]] \label{eq:11-15-8}\end{equation}

\begin{equation}- \dfrac{1}{720}\bigl([Y, [Y, [Y, [Y, X]]]] + [X, [X, [X, [X, Y]]]]\bigr) \label{eq:11-15-9}\end{equation}

\begin{equation}+ \dfrac{1}{360}\bigl([X, [Y, [Y, [Y, X]]]] + [Y, [X, [X, [X, Y]]]]\bigr) \label{eq:11-15-10}\end{equation}

\begin{equation}+ \dfrac{1}{120}\bigl([Y, [X, [Y, [X, Y]]]] + [X, [Y, [X, [Y, X]]]]\bigr) + O(6) \label{eq:11-15-11}\end{equation}

【Dynkin形式（対称形）】

BCH公式はDynkinにより閉じた表現が与えられている。$C_n$ を $n$ 次のLie括弧の項とすると

\begin{equation}Z = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} C_n \label{eq:11-15-12}\end{equation}

ここで

\begin{equation}C_1 = X + Y \label{eq:11-15-13}\end{equation}

\begin{equation}C_2 = \dfrac{1}{2}[X, Y] \label{eq:11-15-14}\end{equation}

\begin{equation}C_3 = \dfrac{1}{12}\bigl([X, [X, Y]] - [Y, [X, Y]]\bigr) \label{eq:11-15-15}\end{equation}

\begin{equation}C_4 = -\dfrac{1}{24}[X, [Y, [X, Y]]] \label{eq:11-15-16}\end{equation}

（注：$[Y, [X, [X, Y]]] = -[X, [Y, [X, Y]]]$ をJacobi恒等式で用いた）

【5次・6次の項】

\begin{equation}C_5 = -\dfrac{1}{720}\bigl([X,[X,[X,[X,Y]]]] + [Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]\bigr) \label{eq:11-15-17}\end{equation}

\begin{equation}+ \dfrac{1}{360}\bigl([X,[Y,[Y,[Y,X]]]] + [Y,[X,[X,[X,Y]]]]\bigr) \label{eq:11-15-18}\end{equation}

\begin{equation}+ \dfrac{1}{120}\bigl([X,[Y,[X,[Y,X]]]] + [Y,[X,[Y,[X,Y]]]]\bigr) \label{eq:11-15-19}\end{equation}

\begin{equation}C_6 = \dfrac{1}{720}\bigl([X,[Y,[X,[X,[X,Y]]]]] - [Y,[X,[Y,[Y,[Y,X]]]]]\bigr) \label{eq:11-15-20}\end{equation}

\begin{equation}\quad + \dfrac{1}{240}[X,[Y,[Y,[X,[X,Y]]]]] \label{eq:11-15-20b}\end{equation}

\begin{equation}\quad + \dfrac{1}{1440}\bigl([X,[X,[Y,[X,[Y,X]]]]] - [Y,[Y,[X,[Y,[X,Y]]]]]\bigr) \label{eq:11-15-21}\end{equation}

\begin{equation}\quad - \dfrac{1}{720}[X,[X,[Y,[Y,[X,Y]]]]] \label{eq:11-15-21b}\end{equation}

補足：BCH公式は無限級数であり、すべての項はLie括弧の入れ子で表される。可換な場合（$[X, Y] = 0$）は $e^X e^Y = e^{X+Y}$ に簡約される。冪零Lie代数（例：上三角行列）では有限項で打ち切られる。係数はベルヌーイ数と組合せ論的因子から計算される。Goldberg (1956) は $n$ 次の項の数が $\displaystyle\dfrac{2^n - 2}{n}$ で上から抑えられることを示した。
収束について：$Z$ は常に形式的べき級数として定義される（自由Lie代数での存在は係数計算によらず保証される）。行列に対して解析的に和を考える場合は、作用素ノルムで $\|X\| + \|Y\| < \ln 2$ 程度の条件下で絶対収束する。
高次項の表式の非一意性：自由Lie代数には Jacobi 恒等式に由来する関係があるため、同一の元が異なる入れ子の交換子で書ける。本ページの $C_n$（とくに 5・6 次）は標準的な一例であり、Hall 基底など基底の取り方を変えると表式が変わる。
出典：H.F. Baker (1905) "Alternants and continuous groups", J.E. Campbell (1897) "On a law of combination of operators", F. Hausdorff (1906) "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie". Dynkin形式は E.B. Dynkin (1947) による。高次項の明示式は M.W. Reinsch (2000) "A simple expression for the terms in the Baker-Campbell-Hausdorff series", J. Math. Phys. 41, 2434 を参照。現代的な解説は B.C. Hall "Lie Groups, Lie Algebras, and Representations" Ch.5 参照。本ページの 5 次・6 次の項は記号計算（計算機代数）で検証している。

11.16 BCH公式の微分

公式：$\displaystyle\dfrac{\partial Z}{\partial X} = \dfrac{\text{ad}_Z}{e^{\text{ad}_Z} - 1} \cdot \dfrac{e^{\text{ad}_X} - 1}{\text{ad}_X}$、$\displaystyle\dfrac{\partial Z}{\partial Y} = \dfrac{\text{ad}_Z}{e^{\text{ad}_Z} - 1}\, e^{\text{ad}_X}\, \dfrac{e^{\text{ad}_Y} - 1}{\text{ad}_Y}$

条件：$Z = \log(e^X e^Y)$（BCH公式）、$\text{ad}_Z$ は $Z$ による随伴作用

証明

$e^Z = e^X e^Y$ を $X$ で微分する（右自明化 $d(e^A)=\dfrac{e^{\text{ad}_A}-1}{\text{ad}_A}(dA)\,e^A$ を用いる）。右辺は

\begin{equation}\dfrac{\partial}{\partial X}(e^X e^Y) = \dfrac{e^{\text{ad}_X} - 1}{\text{ad}_X}(dX) \cdot e^X e^Y \label{eq:11-16-1}\end{equation}

左辺は

\begin{equation}\dfrac{\partial}{\partial X} e^Z = \dfrac{e^{\text{ad}_Z} - 1}{\text{ad}_Z}(dZ) \cdot e^Z \label{eq:11-16-2}\end{equation}

$e^X e^Y = e^Z$ より、$\eqref{eq:11-16-1}$ と $\eqref{eq:11-16-2}$ を等置する。

\begin{equation}\dfrac{e^{\text{ad}_Z} - 1}{\text{ad}_Z}(dZ) = \dfrac{e^{\text{ad}_X} - 1}{\text{ad}_X}(dX) \label{eq:11-16-3}\end{equation}

両辺に $\displaystyle\dfrac{\text{ad}_Z}{e^{\text{ad}_Z} - 1}$ を作用させる。$\dfrac{e^{\text{ad}_A}-1}{\text{ad}_A}=\text{dexp}_A$、$\dfrac{\text{ad}_A}{e^{\text{ad}_A}-1}=\text{dexp}_A^{-1}$ と書けば

\begin{equation}\dfrac{\partial Z}{\partial X} = \dfrac{\text{ad}_Z}{e^{\text{ad}_Z} - 1} \cdot \dfrac{e^{\text{ad}_X} - 1}{\text{ad}_X} = \text{dexp}_Z^{-1} \circ \text{dexp}_X \label{eq:11-16-5}\end{equation}

次に $Y$ で微分する。$\displaystyle\dfrac{\partial}{\partial Y}(e^X e^Y) = e^X \dfrac{e^{\text{ad}_Y} - 1}{\text{ad}_Y}(dY)\, e^Y$ を $\eqref{eq:11-16-2}$ と等置し、右側の $e^Y$ を消去する。

\begin{equation}\dfrac{e^{\text{ad}_Z} - 1}{\text{ad}_Z}(dZ)\, e^X = e^X\, \dfrac{e^{\text{ad}_Y} - 1}{\text{ad}_Y}(dY) \label{eq:11-16-6}\end{equation}

$e^X (\,\cdot\,) e^{-X} = \text{Ad}_{e^X} = e^{\text{ad}_X}$ を用いて左から $\dfrac{\text{ad}_Z}{e^{\text{ad}_Z}-1}$ を作用させると

\begin{equation}\dfrac{\partial Z}{\partial Y} = \dfrac{\text{ad}_Z}{e^{\text{ad}_Z} - 1}\, e^{\text{ad}_X}\, \dfrac{e^{\text{ad}_Y} - 1}{\text{ad}_Y} = \text{dexp}_Z^{-1} \circ \text{Ad}_{e^X} \circ \text{dexp}_Y \label{eq:11-16-7}\end{equation}

補足：右自明化（$d(e^A)e^{-A}$）の規約で統一している。ここで $\dfrac{\partial Z}{\partial X}$ は巨大なヤコビアン行列ではなく、増分 $\Delta X \in \mathfrak{g}$ に作用する線形作用素（Fréchet 微分）であり、$D_X Z[\Delta X] = \text{dexp}_Z^{-1}\!\bigl(\text{dexp}_X(\Delta X)\bigr)$ と読むのが正確である（$\circ$ は作用素の合成）。この微分公式はLie群上の最適化（測地線勾配法）やロボット工学（姿勢制御）で重要である。$\displaystyle\dfrac{z}{e^{z} - 1} = 1 - \displaystyle\dfrac{z}{2} + \displaystyle\dfrac{z^2}{12} - \displaystyle\dfrac{z^4}{720} + \cdots$（ベルヌーイ数）の展開を用いると数値計算が可能になる。

11.20 Jacobi恒等式と微分

公式：$\text{ad}_{[X,Y]} = [\text{ad}_X, \text{ad}_Y]$、すなわち $\text{ad}_{[X,Y]}(Z) = \text{ad}_X(\text{ad}_Y(Z)) - \text{ad}_Y(\text{ad}_X(Z))$

条件：$X, Y, Z \in \mathfrak{g}$（Lie代数）

証明

Jacobi恒等式を示す。Lie括弧の定義より

\begin{equation}[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 \label{eq:11-20-1}\end{equation}

$\eqref{eq:11-20-1}$ を展開する。$[A, B] = AB - BA$ より

\begin{equation}[X, [Y, Z]] = X(YZ - ZY) - (YZ - ZY)X = XYZ - XZY - YZX + ZYX \label{eq:11-20-2}\end{equation}

同様に

\begin{equation}[Y, [Z, X]] = YZX - YXZ - ZXY + XZY \label{eq:11-20-3}\end{equation}

\begin{equation}[Z, [X, Y]] = ZXY - ZYX - XYZ + YXZ \label{eq:11-20-4}\end{equation}

$\eqref{eq:11-20-2}$、$\eqref{eq:11-20-3}$、$\eqref{eq:11-20-4}$ を加えると、すべての項が相殺して 0 になる。

【随伴表現との関係】

Jacobi恒等式を $\text{ad}$ で書き直す。$\text{ad}_X(Y) = [X, Y]$ より

\begin{equation}\text{ad}_X(\text{ad}_Y(Z)) - \text{ad}_Y(\text{ad}_X(Z)) = [[X, Y], Z] = \text{ad}_{[X,Y]}(Z) \label{eq:11-20-5}\end{equation}

$\eqref{eq:11-20-5}$ は $\text{ad}_{[X,Y]} = [\text{ad}_X, \text{ad}_Y]$ と表せる。これは $\text{ad}: \mathfrak{g} \to \text{End}(\mathfrak{g})$ がLie代数の準同型であることを示す。

補足：Jacobi恒等式は結合法則の代わりにLie代数を特徴づける公理である。$\text{ad}$ がLie代数準同型であることは、構造定数 $c_{ij}^k$（$[e_i, e_j] = \displaystyle\sum_k c_{ij}^k e_k$）を用いると $(\text{ad}_{e_i})_j^k = c_{ij}^k$ と行列表示できることを意味する。
出典：C.G.J. Jacobi による（1862年頃の遺稿）。現代的な定式化は S. Lie (1888-1893) "Theorie der Transformationsgruppen" による。

11.21 Killing形式の微分

公式：$\displaystyle\dfrac{\partial \kappa(X, Y)}{\partial X_{ij}} = \text{tr}(\text{ad}_{J^{ij}} \text{ad}_Y)$、$\displaystyle\dfrac{\partial \kappa(X, Y)}{\partial Y_{ij}} = \text{tr}(\text{ad}_X \text{ad}_{J^{ij}})$

条件：$\kappa(X, Y) = \text{tr}(\text{ad}_X \text{ad}_Y)$（Killing形式）、$X, Y \in \mathfrak{g}$

証明

Killing形式の定義は

\begin{equation}\kappa(X, Y) = \text{tr}(\text{ad}_X \text{ad}_Y) \label{eq:11-21-1}\end{equation}

$\text{ad}_X$ は $X$ の線形関数なので、$\displaystyle\dfrac{\partial}{\partial X_{ij}} \text{ad}_X = \text{ad}_{J^{ij}}$ である。

$\eqref{eq:11-21-1}$ を $X_{ij}$ で微分する。積の微分とトレースの線形性より

\begin{equation}\dfrac{\partial \kappa(X, Y)}{\partial X_{ij}} = \text{tr}\left( \dfrac{\partial \text{ad}_X}{\partial X_{ij}} \text{ad}_Y \right) = \text{tr}(\text{ad}_{J^{ij}} \text{ad}_Y) \label{eq:11-21-2}\end{equation}

対称性 $\kappa(X, Y) = \kappa(Y, X)$ を用いれば、$Y$ での微分も同様に得られる。

\begin{equation}\dfrac{\partial \kappa(X, Y)}{\partial Y_{ij}} = \text{tr}(\text{ad}_X \text{ad}_{J^{ij}}) \label{eq:11-21-3}\end{equation}

両方の変数に依存する場合は

\begin{equation}d\kappa(X, Y) = \text{tr}(\text{ad}_{dX} \text{ad}_Y) + \text{tr}(\text{ad}_X \text{ad}_{dY}) \label{eq:11-21-4}\end{equation}

補足：Killing形式は $\text{Ad}$-不変（$\kappa(\text{Ad}_g X, \text{Ad}_g Y) = \kappa(X, Y)$）であり、半単純Lie代数では非退化である。$\mathfrak{su}(n)$ では $\kappa(X, Y) = 2n \cdot \text{tr}(XY)$、$\mathfrak{so}(n)$ では $\kappa(X, Y) = (n-2) \cdot \text{tr}(XY)$ となる。この不変計量はLie群上のRiemann幾何を定義する。
出典：W. Killing (1888) "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen". Cartanの判定法は É. Cartan (1894) による。

11.22 Maurer-Cartan形式

公式：$\omega = g^{-1} dg$、$d\omega + \omega \wedge \omega = 0$（Maurer-Cartan方程式）

条件：$g: M \to G$（Lie群への写像）、$\omega \in \Omega^1(M, \mathfrak{g})$（$\mathfrak{g}$-値 1-形式）

証明

Maurer-Cartan形式を定義する。$g \in G$ に対して

\begin{equation}\omega = g^{-1} dg \label{eq:11-22-1}\end{equation}

$\omega$ がLie代数 $\mathfrak{g}$ に値を取ることを確認する。$g^{-1} dg$ は $T_e G \cong \mathfrak{g}$ の元である。

【Maurer-Cartan方程式の導出】

$d(g^{-1}) = -g^{-1} (dg) g^{-1}$ を用いる（$g \cdot g^{-1} = I$ の微分より）。

\begin{equation}d(g \cdot g^{-1}) = dg \cdot g^{-1} + g \cdot d(g^{-1}) = 0 \label{eq:11-22-2}\end{equation}

\begin{equation}d(g^{-1}) = -g^{-1} dg \cdot g^{-1} \label{eq:11-22-3}\end{equation}

$\omega = g^{-1} dg$ の外微分を計算する。

\begin{equation}d\omega = d(g^{-1}) \wedge dg = -g^{-1} dg \cdot g^{-1} \wedge dg \label{eq:11-22-4}\end{equation}

$\omega \wedge \omega$ を計算する。行列値の場合、$\omega \wedge \omega$ は行列積と外積の組み合わせである。

\begin{equation}\omega \wedge \omega = (g^{-1} dg) \wedge (g^{-1} dg) \label{eq:11-22-5}\end{equation}

$g^{-1}$ は 0-形式なので

\begin{equation}\omega \wedge \omega = g^{-1} dg \cdot g^{-1} \wedge dg = g^{-1} dg \wedge g^{-1} dg \label{eq:11-22-6}\end{equation}

$\eqref{eq:11-22-4}$ と $\eqref{eq:11-22-6}$ を比較すると

\begin{equation}d\omega = -\omega \wedge \omega \label{eq:11-22-7}\end{equation}

すなわち

\begin{equation}d\omega + \omega \wedge \omega = 0 \label{eq:11-22-8}\end{equation}

補足：Maurer-Cartan方程式は接続の曲率が 0（平坦）であることを表す。右不変形式 $\tilde{\omega} = dg \cdot g^{-1}$ では符号が反転し、$d\tilde{\omega} - \tilde{\omega} \wedge \tilde{\omega} = 0$ を満たす（$d(g^{-1}) = -g^{-1}\,dg\,g^{-1}$ から $d\tilde\omega = +\tilde\omega\wedge\tilde\omega$ となるため）。成分で書くと $d\omega^k + \displaystyle\dfrac{1}{2} c_{ij}^k \omega^i \wedge \omega^j = 0$（$c_{ij}^k$ は構造定数）となる。
出典：L. Maurer (1888) および É. Cartan (1904) "Sur la structure des groupes infinis de transformations" による。現代的な解説は S. Kobayashi & K. Nomizu "Foundations of Differential Geometry" Vol.1, Ch.1 参照。