20.1 凹凸の定義
凹凸の定義
- 下に凸（凹）：グラフが接線より上にある ⇔ $f''(x) > 0$
- 上に凸（凸）：グラフが接線より下にある ⇔ $f''(x) < 0$
20.2 変曲点
変曲点
曲線の凹凸が切り替わる点を変曲点という。
変曲点 $x = a$ では、$f''(a) = 0$ かつ $f''$ の符号が変わる。
例：$f(x) = x^3$ の変曲点
$f'(x) = 3x^2$, $f''(x) = 6x$
$f''(x) = 0$ より $x = 0$
$x < 0$ で $f'' < 0$（上に凸）、$x > 0$ で $f'' > 0$（下に凸）
よって $x = 0$ は変曲点
20.3 グラフの概形
例：$f(x) = x^4 - 4x^3 + 6$ の完全な解析
導関数
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$
$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$
極値
$f'(x) = 0$ より $x = 0, 3$
$x = 0$：$f''(0) = 0$（判定不能、一階で確認）
$x = 3$：$f''(3) = 36 > 0$ → 極小、$f(3) = 81 - 108 + 6 = -21$
変曲点
$f''(x) = 0$ より $x = 0, 2$
両方で $f''$ の符号が変わるので変曲点
変曲点：$(0, 6)$, $(2, -10)$
練習問題
練習1
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の変曲点を求めよ。
解答を見る
$f''(x) = 6x - 12 = 0$ より $x = 2$
$x < 2$ で $f'' < 0$、$x > 2$ で $f'' > 0$
変曲点：$(2, f(2)) = (2, 3)$