第21章 最適化問題

問題：周の長さが $L$ の長方形で面積最大のものを求めよ。

解

一辺を $x$ とすると、もう一辺は $\frac{L-2x}{2} = \frac{L}{2} - x$

面積 $A(x) = x\left(\frac{L}{2} - x\right) = \frac{L}{2}x - x^2$

定義域：$0 < x < \frac{L}{2}$

$A'(x) = \frac{L}{2} - 2x = 0$ より $x = \frac{L}{4}$

$A''(x) = -2 < 0$ なので極大（かつ最大）

結論：正方形（一辺 $\frac{L}{4}$）が最大面積

問題：表面積 $S$ の円柱で体積最大のものを求めよ。

解

半径 $r$、高さ $h$ とすると：

表面積：$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ より $h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r}$

体積：$V = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{r(S - 2\pi r^2)}{2}$

$\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{S - 6\pi r^2}{2} = 0$ より $r = \sqrt{\dfrac{S}{6\pi}}$

このとき $h = 2r$ となり、高さが直径に等しい円柱が最適。

収益 $R(x) = 100x - x^2$、コスト $C(x) = 20 + 10x$ のとき、利益 $P = R - C$ を最大化。

$P(x) = 100x - x^2 - 20 - 10x = -x^2 + 90x - 20$

$P'(x) = -2x + 90 = 0$ より $x = 45$

最大利益：$P(45) = -2025 + 4050 - 20 = 2005$