第1章 変化とは何か
身近な例から「変化」を理解する
1.1 日常の中の変化
私たちの周りには「変化」があふれている。
- 車の速度が変わる
- 気温が時間とともに変化する
- 植物が成長する
- 預金が利子で増える
- ボールを投げたときの高さが変わる
微分とは、このような「変化」を数学的に捉えるための道具である。
この図を見ると、気温が時間とともにどのように変化しているかがわかる。朝は気温が低く、昼に向かって上がり、夜にはまた下がっている。
1.2 速度と距離
「変化」を理解するために、最もわかりやすい例である「速度」を考えてみよう。
例題：車の移動
車が一定の速さで走っている。
- 1時間後：60km 地点にいる
- 2時間後：120km 地点にいる
- 3時間後：180km 地点にいる
このグラフでは：
- 横軸が時間（原因）
- 縦軸が距離（結果）
グラフが直線になっているのは、車が一定の速さで走っているからである。
グラフの傾き = 速度
距離-時間グラフの傾きは、その物体の速度を表している。
1.3 平均変化率
ここで「変化率」という言葉を導入しよう。
関数 $y = f(x)$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化したとき、平均変化率は：
$$\text{平均変化率} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$ここで $\Delta$（デルタ）は「変化量」を表す記号である。
具体例で計算してみよう
例題：関数 $f(x) = x^2$ について、$x$ が $1$ から $3$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
Step 1：各点での関数値を計算する
$$f(1) = 1^2 = 1$$ $$f(3) = 3^2 = 9$$Step 2：変化量を求める
$$\Delta x = 3 - 1 = 2$$ $$\Delta y = f(3) - f(1) = 9 - 1 = 8$$Step 3：平均変化率を計算する
$$\text{平均変化率} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{8}{2} = 4$$この結果は何を意味しているのだろうか。
$x$ が $1$ から $3$ に変化する間、平均すると $x$ が $1$ 増えるごとに $y$ は $4$ 増えるということである。
1.4 変化率は一定ではない
しかし、放物線 $y = x^2$ をよく見ると、場所によって曲がり具合が違うことがわかる。
区間を変えて平均変化率を計算してみよう。
| 区間 | Δx | f(始点) | f(終点) | Δy | 平均変化率 |
|---|---|---|---|---|---|
| $[0, 1]$ | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| $[1, 2]$ | 1 | 1 | 4 | 3 | 3 |
| $[2, 3]$ | 1 | 4 | 9 | 5 | 5 |
| $[3, 4]$ | 1 | 9 | 16 | 7 | 7 |
「平均」ではなく、ある一点での変化率（瞬間の変化率）を知りたい場合はどうすればよいだろうか。
これが微分につながる核心的な問いである。
1.5 瞬間の変化率へ
車のスピードメーターを思い出してほしい。スピードメーターは「今この瞬間」の速度を示している。
これは「平均の速度」ではなく、「瞬間の速度」である。
数学的には、区間を限りなく小さくしていくことで、瞬間の変化率を求めることができる。
これが次章以降で学ぶ「極限」と「微分」の核心である。
この章のまとめ
- 変化は日常のあらゆる場面に存在する
- グラフの傾きは変化の速さ（変化率）を表す
- 平均変化率 $= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$
- 曲線では、場所によって変化率が異なる
- 瞬間の変化率を求めることが微分の目標