ラドン変換 入門

投影とサイノグラム（高校〜大学初年度レベル）

入門の概要

元の画像 $f(x,y)$ 直線 $L$ 線積分 $\displaystyle\int_L f\,dl$ サイノグラム $p(s,\theta)$ $\theta$ (0° → 180°) $s$ 各角度 $\theta$ での投影データを集めたものがサイノグラム 点が正弦波（サイン曲線）を描く → サイノグラム

入門では、ラドン変換の基本的な考え方を学ぶ。「各角度では2次元の物体を1次元の投影データに変換する」という操作が何を意味するのか、直感的に理解することを目指す。

学習目標

  • 線積分（投影）の幾何学的意味を理解する
  • サイノグラムの概念を理解する
  • X線CTスキャンの原理を概観する
  • 十分な投影データがあれば、なぜ元の画像を復元できるのか理解する

目次

  1. 第1章 X線CTと投影

    歴史、X線CTの直感、投影＝線積分

  2. 第2章 線積分の幾何学

    直線の $(s, \theta)$ 表現、線積分、ラドン変換の定義、具体例

  3. 第3章 サイノグラム

    投影データの可視化、特徴の解釈

  4. 第4章 X線CTの原理

    X線の減衰、投影データの取得

  5. 第5章 再構成の概要

    十分な投影データから画像を復元する基本的なアイデア

前提知識

  • 微分積分の基礎（積分の計算）
  • 2変数関数の考え方（$f(x,y)$ の読み方）
  • 三角関数の基本
  • ベクトルと直線の方程式

読み物

  1. 体の中を見る数学 ― 切らずに覗くという発想 ［読み物］

    メスを入れずに体の中を見る発想はどこから来たのか。応用のあてもなく生まれた1917年のラドンの定理が、半世紀後にCTを支えるまでを肩の力を抜いて語る。

  2. 投影で中身を知る、いくつもの流儀 ― CT・MRI・地震波・天文 ［読み物］

    体だけではない。地球の内部も遠くの天体も、外から集めた手がかりを束ねて中身を描く――投影で内部を知るという同じ発想を、CT・MRI・地震波・天文を横断して気軽に語る。

  3. スーツケースの中身を透かす ― 空港スキャナーと影あてゲーム ［読み物］

    空港の荷物検査も、果物を割らずに調べる検査も、根は「開けずに中身を当てる」同じ発想。影あてゲームを入口に、身近なスキャナーからラドン変換の考え方を肩の力を抜いて語る。

よくある質問

ラドン変換とは何ですか？

ラドン変換は、2次元の関数 $f(x,y)$ を、直線に沿った線積分（投影）の集まりに変換する数学的操作です。直線は位置 $s$ と角度 $\theta$ の2つで指定し、その値 $\mathcal{R}f(s,\theta)$ を集めたものがラドン変換です。1917年にオーストリアの数学者ヨハン・ラドンが導入し、CTスキャンの数学的基礎として広く応用されています。

サイノグラムとは何ですか？

サイノグラムは、ラドン変換の結果を角度 $\theta$ と位置 $s$ の2変数で表示した2次元画像です。元の画像中の点状の特徴はサイノグラム上で正弦波（サイン曲線）として現れるため、この名前がついています。

ラドン変換はCTスキャンとどう関係していますか？

X線CTスキャンで直接測るのは、人体を通過したX線の強度 $I$ です。入射強度 $I_0$ との比の対数をとった $-\ln(I/I_0)$ が減弱係数の線積分に対応し、これがラドン変換の近似になります。この測定データに逆ラドン変換（フィルタ補正逆投影法など）を適用して、人体の断面画像を再構成します。