第1章 命題とは何か
入門（高校〜大学1年レベル）
1.1 命題とは
定義：命題
命題（proposition）とは、真か偽かがはっきり決まる文のことである。
ポイントは「はっきり決まる」という点である。
- その文が正しければ「真」（True）
- その文が間違っていれば「偽」（False）
どちらでもない、あいまいな文は命題ではない。
1.2 命題の例
例1：真である命題
- 「$2 + 3 = 5$」 → 真
- 「東京は日本の首都である」 → 真
- 「$6$ は $2$ で割り切れる」 → 真
- 「すべての正方形は長方形である」 → 真
例2：偽である命題
- 「$2 + 3 = 6$」 → 偽
- 「地球は平らである」 → 偽
- 「$7$ は偶数である」 → 偽
- 「すべての長方形は正方形である」 → 偽
重要なポイント
偽である命題も「命題」であることに注意されたい。「$2 + 3 = 6$」は間違っているが、間違っていることが「はっきり決まる」ので命題である。
1.3 命題でないものの例
以下のような文は命題ではない。
例1：疑問文
- 「今日は何曜日か？」
- 「$x$ の値はいくつか？」
→ 疑問文は質問であり、真偽を判定する対象ではない。
例2：命令文・感嘆文
- 「ドアを閉めよ」
- 「なんて美しい景色だ！」
→ 行動や感情を表しており、真偽の対象ではない。
例3：あいまいな文
- 「彼は背が高い」
- 「この料理はおいしい」
→ 「高い」「おいしい」の基準が人によって異なるため、真偽が定まらない。
1.4 真偽値
定義：真偽値
命題の「真」または「偽」という値を真偽値（truth value）という。
真偽値は次のように表記することがある：
| 真 | 偽 |
|---|---|
| True, T, 1, ○ | False, F, 0, × |
数学では、記号 $\top$（真）と $\bot$（偽）を使うこともある。
1.5 変数を含む文
次の文を考えてみよう：
「$x$ は偶数である」
これは命題だろうか？
答え：そのままでは命題ではない
$x$ の値がわからないと、真偽が定まらない。
- $x = 4$ なら → 真
- $x = 5$ なら → 偽
定義：命題関数（条件）
変数を含み、変数に具体的な値を代入すると命題になる文を命題関数または条件という。
「$x$ は偶数である」を $P(x)$ のように書く。
1.6 この章のまとめ
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 命題 | 真か偽かがはっきり決まる文 |
| 真偽値 | 「真」または「偽」の値 |
| 命題関数 | 変数を含み、代入すると命題になる文 |
次章の予告
次章では、命題を組み合わせる「論理演算」を学ぶ。「かつ」「または」「でない」の正確な意味と真理値表を理解しよう。
よくある質問
Q1: 命題とは何か。
A: 命題とは「真か偽のどちらか一方に確定的に定まる文」をいう。「2 は素数である」（真）や「全ての偶数は 4 の倍数である」（偽）は命題であるが、「$x$ は正の数である」は $x$ によって真偽が変わるため命題関数（条件）と呼ばれる。
Q2: 命題関数と命題の違いは何か。
A: 命題は固定した主語を持ち真偽が確定している。命題関数（条件）は変数を含み、変数の値が決まって初めて真偽が確定する。「$n$ は偶数である」は $n = 4$ なら真、$n = 3$ なら偽となる。
Q3: 数学で命題を厳密に扱うのはなぜ重要か。
A: 直感や「なんとなく正しそう」という感覚は数学では不十分である。命題の真偽を論理的に確定させることで、すべての場合に成立する「証明」が可能となる。数学の厳密さの基礎は「何が証明されていて何が仮定かを明確にする」ことにある。