確率論 初級

初級編の目標と構成の概要

標本空間 $\Omega$、事象、確率測度 $P$、確率の公理

条件付き確率の定義、独立事象、独立試行

全確率の公式、ベイズの定理とその応用

確率変数の定義、確率質量関数、累積分布関数

ベルヌーイ分布、二項分布、幾何分布、ポアソン分布

期待値 $E[X]$、線形性、分散 $V[X]$、共分散

確率空間の厳密な定義、$\sigma$-加法族、確率測度

ベイズの定理の導出、事前・事後確率、応用例

分散の定義と性質、標準偏差、チェビシェフの不等式

連続・離散一様分布のPDF・CDF、期待値・分散、逆変換法、順序統計量、最大エントロピー

定義、期待値・分散、MGF、二項分布との関係、指数型分布族、応用例

ベルヌーイ試行、期待値・分散、正規近似、ポアソン近似

非復元抽出、有限母集団補正、二項近似、フィッシャーの正確検定、抜取検査、捕獲再捕獲法

多項係数、確率質量関数、期待値・分散・共分散、周辺分布、条件付き分布、応用

正規分布の定義、標準正規分布、中心極限定理

定義、二項分布からの導出（少数の法則）、期待値・分散、モーメント母関数、ポアソン過程、再生性、正規近似

定義、2つの定義の違い、期待値・分散、無記憶性、モーメント母関数、負の二項分布との関係、応用例

定義、確率質量関数、期待値・分散、幾何分布との関係、モーメント母関数、再生性、ポアソン＝ガンマ混合、応用例

定義、期待値・分散、無記憶性、ポアソン過程との関係、モーメント母関数、ハザード関数、応用例

マルコフの不等式、チェビシェフの不等式の証明、片側チェビシェフ（カントリの不等式）、等号条件、大数の弱法則、他の確率不等式との比較