線形代数 上級

1. 第1章 行列式と外積代数

   ウェッジ積、$n$ 次元への一般化、微分形式との関連

2. 第2章 行列式：固有値からの導出

   Axler方式、行列式を（複素数上で重複度を込めた）固有値の積として特徴づける

3. 第3章 ジョルダン標準形

   ジョルダン細胞、一般固有空間、不変部分空間の分解（特性多項式が一次式の積に分解する場合）

4. 第4章 ジョルダン分解

   加法的分解 $A = S + N$、乗法的分解 $A = SU$（$A$ が可逆のとき）、$S$ は $N$・$U$ と可換、存在と一意性、リー環での半単純分解、行列指数関数・線形ODEへの応用

5. 第5章 スペクトル定理

   有限次元の対称行列・正規作用素の直交／ユニタリ対角化、無限次元ではスペクトル測度による拡張

6. 第6章 シュール分解

   定理と帰納法による証明、実シュール分解、正規行列との関係、QRアルゴリズム、行列関数・安定性解析・シルベスター方程式への応用

7. 第7章 行列指数関数

   定義と収束性、計算法（対角化・ジョルダン標準形・ケーリー・ハミルトン）、微分方程式への応用、リー群との関係、数値計算

8. 第8章 スペクトル半径

   定義と基本性質、ゲルファントの公式、行列べきの収束条件、ペロン＝フロベニウスの定理、反復法の収束、安定性解析・PageRank

9. 第9章 ムーア＝ペンローズ擬逆行列

   ペンローズの4条件、存在と一意性の証明、SVDによる計算法、最小二乗法との関係、射影行列、応用

10. 第10章 対称行列の階数2更新

    SYR2演算、Sherman-Morrison-Woodbury公式、BFGS法、分割統治法

11. 第11章 Sylvester 方程式

    $AX + XB = C$ の理論、Kronecker 積による一意解存在条件、Bartels-Stewart 法、Lyapunov 方程式との関係、制御理論への応用 (相似変換・MIMO 極配置・Riccati Newton 反復)

12. 第12章 Hermite 標準形 (HNF)

    整数行列の行標準形、定義・一意性・アルゴリズム、格子の等価性判定、整数連立方程式、暗号理論への応用

13. 第13章 Smith 標準形

    PID 上の行列を左右の基本変形（相似変換ではない）で対角形に、不変因子 $d_1 | d_2 | \cdots | d_r$、有限生成加群の構造定理、整数行列の連立方程式・ホモロジー計算への応用

14. 第14章 フロベニウス標準形（有理標準形）

    不変因子、スミス標準形、同伴行列のブロック対角形、ジョルダン標準形との比較

15. 第15章 LLL 基底簡約

    格子基底の簡約を多項式時間で行う Lenstra-Lenstra-Lovász 法、Lovász 条件、アルゴリズム手順、暗号解読・ディオファントス近似への応用

関連トピック (多重線形代数・多項式・一般化逆)

• 外積代数（Exterior Algebra）

  Λ(V) の構成、交代性 v∧v=0、k-ベクトル、行列式との関係、微分形式、ホッジ双対、プリュッカー埋め込み

• 外積（ウェッジ積）（Wedge Product）

  交代性、k-形式、行列式との関連、微分形式への応用、ホッジ双対、グレーデッド構造

• シルヴェスター行列（Sylvester Matrix）

  2 つの多項式から構成、終結式（Resultant）、多項式 GCD 判定、代数幾何・制御理論への応用

• ドラジン逆（Drazin Inverse）

  行列の指数（index。行列指数関数とは別）・コア＝冪零分解による構成・ムーア＝ペンローズ擬似逆との違い・微分代数方程式やマルコフ連鎖への応用

• 特異値分解 ― おすすめと検索を支える「万能の分解」 ［読み物］

  どんな行列も「回す・伸ばす・また回す」に分解する SVD。Netflix のおすすめ、検索の潜在意味解析、画像圧縮、擬逆行列まで、その働きを肩の力を抜いて語る。

• 対角化を拒む行列たち ［読み物］

  対角化できない「困った行列」をどう手なずけるか。ジョルダン標準形という最良の妥協と、行列の指数関数が連立微分方程式の未来を描く仕組みを肩の力を抜いて語る。