数値解析 上級

偏微分方程式と高度な手法（大学院レベル）

上級の概要

上級では、偏微分方程式の数値解法と高度な数値手法を学ぶ。有限差分法、有限要素法、そして最適化や信号処理で重要な高速フーリエ変換を扱う。

学習目標

  • 有限差分法で偏微分方程式を離散化できる
  • 有限要素法の基本的な考え方を理解する
  • クリロフ部分空間法（CG法、GMRES）を使える
  • 数値最適化の基本アルゴリズムを理解する
  • FFTの原理と応用を理解する

目次

§A. 高度線形代数

  1. 第1章 クリロフ部分空間法

    共役勾配法（CG）、GMRES、前処理

  2. 第2章 Lanczos 法

    対称行列の三重対角化、Krylov 部分空間、固有値計算

  3. 第3章 Fast Givens 回転

    QR 分解の高速化、平方根なし回転

  4. 第4章 確率的 SVD

    乱択化による低ランク近似、Halko-Martinsson-Tropp

  5. 第5章 Strassen の行列積

    $O(n^{\log_2 7})$ 行列積、再帰的分割

  6. 第6章 モデル低次元化

    POD、Reduced Basis、Balanced Truncation

§B. 線形 PDE 解法インフラ

  1. 第7章 マルチグリッド法

    V-cycle、W-cycle、smoother、Galerkin coarse grid

  2. 第8章 領域分割法

    Schwarz 反復、Schur 補完、並列前処理

§C. 数値積分

  1. 第9章 適応型求積

    局所誤差推定、Romberg、二分再帰

  2. 第10章 Gauss-Kronrod 求積

    入れ子型ノード、誤差推定、QUADPACK

  3. 第11章 モンテカルロ積分

    乱数による数値積分、誤差評価、分散削減法、高次元積分

  4. 第12章 準モンテカルロ法

    低食い違い列、Halton 列、Sobol 列、Koksma-Hlawka 不等式

§D. 最適化 (→ 最適化シリーズ へ移管)

数値最適化の上級理論は独立した「最適化」シリーズに集約された。

  1. 数値最適化の上級理論 — 収束率と加速法

    Lipschitz 滑らかさと強凸性、Nesterov 加速勾配 $O(1/k^2)$、最適収束率の下界 (Nemirovski-Yudin)、FISTA

  2. 第14章 自動微分

    Forward / Reverse モード、二重数、計算グラフ

§E. PDE: 有限差分系

  1. 第15章 有限差分法

    空間離散化、熱方程式、波動方程式、CFL 条件

  2. 第16章 放物型・双曲型方程式

    陽解法・陰解法、安定性解析、特性曲線法

  3. 第17章 FDTD 法（時間領域有限差分法）

    Maxwell 方程式の数値解法、Yee グリッド、リープフロッグ、PML

§F. PDE: 楕円型・FEM 系

  1. 第18章 楕円型偏微分方程式

    ラプラス方程式、ポアソン方程式、境界値問題

  2. 第19章 有限要素法入門

    弱形式、ガラーキン法、基底関数、要素行列

  3. 第20章 不連続 Galerkin 法（DG）

    フラックス、保存則、ハイブリッド離散化

  4. 第21章 hp-FEM

    h 細分化、p 増次、指数収束、エラー指示子

  5. 第22章 アイソジオメトリック解析

    NURBS、CAD 連携、高次連続性

  6. 第23章 スペクトル法

    Chebyshev 展開、Galerkin、Collocation、指数収束

  7. 第24章 有限体積法

    保存形式、フラックス、Riemann 解法

  8. 第25章 メッシュフリー法

    SPH、MLS、RBF、粒子法

  9. 第26章 格子ボルツマン法

    D2Q9 / D3Q19、BGK 近似、流体シミュレーション

§G. ODE: シンプレクティック

  1. 第27章 シンプレクティック積分

    リープフロッグ、Stormer-Verlet、Yoshida 高次法、Hamilton 系の保存

§H. 離散フーリエ・FFT

  1. 第28章 離散フーリエ・FFT (章ハブ)

    DFT 定義、Cooley-Tukey、Bluestein、NTT の概観と深掘り記事への導線

§I. 多項式・数列加速

  1. 第29章 高度な多項式求根法

    Jenkins-Traub 法、コンパニオン行列＋QR 法

  2. 第30章 Laguerre 法

    複素零点への大域収束、3 次収束

  3. 第31章 Wynn の ε アルゴリズム

    数列加速、Aitken 法の一般化、Padé 近似

§J. 積分方程式・BEM

  1. 第32章 積分方程式

    Fredholm 方程式、Volterra 方程式、数値積分による離散化

  2. 第33章 境界要素法（BEM）

    境界積分方程式、Green 関数、次元削減、無限領域問題

§K. 逆問題・正則化

  1. 第34章 逆問題と不適切性

    Hadamard の適切性条件、条件数、Picard 条件、応用分野

  2. 第35章 正則化手法

    Tikhonov 正則化、L1 正則化、TV 正則化、パラメータ選択

有限差分法の可視化

偏微分方程式を格子点上で離散化し、代数方程式系に変換する。

u_{i,j} u_{i,j+1} u_{i,j-1} u_{i-1,j} u_{i+1,j} x y 境界条件 未知数 5点ステンシル ∇²u ≈ (u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}) / h²

有限要素法の概念

φᵢ(x)：節点iの基底関数 三角形要素分割 領域を要素（三角形）に分割 → 各節点でテント状の基底関数 φᵢ を定義 → 弱形式の連立方程式を構築

コンパニオン行列による求根

多項式 $p(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_0$ の根は、コンパニオン行列の固有値として計算できる。

p(z) = z⁴ + a₃z³ + a₂z² + a₁z + a₀ コンパニオン行列 C -a₃ -a₂ -a₁ -a₀ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 QR法 固有値 = 根 z₁ z̄₁ z₂ z̄₂ Re Im 定理: det(C - zI) = (-1)ⁿ p(z) なので、Cの固有値がp(z)の根 利点: QR法は高精度で安定、ライブラリ（LAPACK等）が充実 計算量: O(n³)、ただし実用上は非常に高速で信頼性が高い 係数行 シフト部

前提知識

  • 数値解析 中級の内容
  • 偏微分方程式の基礎
  • 関数解析の基礎（あれば望ましい）