フーリエ変換

概要

フーリエ変換（Fourier Transform）は、時間領域または空間領域の関数を周波数領域の関数に変換する数学的操作であり、信号処理・画像処理・物理学・工学において最も重要な解析手法の一つである。Joseph Fourier (1768–1830) による熱伝導の研究に端を発し、現代科学技術の基盤となっている。

フーリエ変換により、複雑な波形を単純な正弦波・余弦波の重ね合わせとして表現でき、信号の周波数成分を明示的に抽出できる。これは音響解析、画像圧縮、通信システム、量子力学など、あらゆる分野で応用される。

定義

逆フーリエ変換

この逆変換が元の関数に戻るのは、$f$ が適切な条件（おおまかには絶対可積分で、なめらかさをもつこと）を満たすときである。$f$ が連続な点では $f(t)$ に戻り、不連続点では左右の極限の平均 $\dfrac{f(t^+)+f(t^-)}{2}$ に収束する。これはフーリエ級数の収束定理を変換に拡張したもので、その仕組みはディリクレ核に由来する。不連続点の近くで再構成が約9%だけ行き過ぎて消えないギブズ現象も、同じ核の振る舞いによるものである。より厳密な収束条件と $L^2$ の意味での反転（ノルム保存）は、中級のフーリエ変換の定義とプランシュレルの定理で扱う。

基本性質

線形性

$$\mathcal{F}[af(t) + bg(t)] = a\hat{f}(\omega) + b\hat{g}(\omega)$$

時間シフト

$$\mathcal{F}[f(t - t_0)] = e^{-i\omega t_0} \hat{f}(\omega)$$ （時間シフトは位相シフトとして現れる）

周波数シフト（変調定理）

$$\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t} f(t)] = \hat{f}(\omega - \omega_0)$$ （キャリア変調の数学的表現）

スケーリング

$$\mathcal{F}[f(at)] = \dfrac{1}{|a|} \hat{f}\left(\dfrac{\omega}{a}\right)$$ （時間圧縮は周波数拡大に対応）

微分

$$\mathcal{F}\left[\dfrac{d^n f}{dt^n}\right] = (i\omega)^n \hat{f}(\omega)$$ （微分は周波数領域で多項式乗算）

積分

$$\mathcal{F}\left[\displaystyle\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau\right] = \dfrac{\hat{f}(\omega)}{i\omega} + \pi \hat{f}(0) \delta(\omega)$$

Parseval の定理（エネルギー保存）

$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 \, dt = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\omega)|^2 \, d\omega$$ （時間領域のエネルギーと周波数領域のエネルギーは等しい）

畳み込み定理

この定理により、畳み込み演算（線形システムの応答計算）が周波数領域では単純な乗算に帰着される。たとえば信号にフィルタを掛ける処理は、時間領域では畳み込みだが、周波数領域では各周波数成分を掛け算で増幅・減衰させるだけで済む。

双対性

$$\mathcal{F}[\hat{f}(t)] = 2\pi f(-\omega)$$

ここで $\hat{f}(t)$ は、変換 $\hat{f}(\omega)$ の変数を $t$ と読み替えて得た関数を指す。つまり、変換をもう一度施すと、元の関数が（符号反転して）戻る。

重要な変換対

矩形関数（Rectangular function）

$$f(t) = \begin{cases} 1 & (|t| < a) \\ 0 & (|t| > a) \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \hat{f}(\omega) = \dfrac{2\sin(a\omega)}{\omega} = 2a \, \text{sinc}(a\omega)$$

ガウス関数

$$f(t) = e^{-at^2} \quad \Leftrightarrow \quad \hat{f}(\omega) = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} e^{-\omega^2/(4a)}$$ （ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数）

指数減衰

$$f(t) = e^{-a|t|} \quad (a > 0) \quad \Leftrightarrow \quad \hat{f}(\omega) = \dfrac{2a}{a^2 + \omega^2}$$ （Lorentz型）

デルタ関数

$$f(t) = \delta(t) \quad \Leftrightarrow \quad \hat{f}(\omega) = 1$$ （すべての周波数成分を含む）

定数関数

$$f(t) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \hat{f}(\omega) = 2\pi \delta(\omega)$$ （DC成分のみ）

正弦波・余弦波

$$\cos(\omega_0 t) \quad \Leftrightarrow \quad \pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$$ $$\sin(\omega_0 t) \quad \Leftrightarrow \quad i\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]$$

例

例1: 矩形パルスの周波数スペクトル

例2: 微分方程式への応用

例3: ガウス関数の変換

応用

信号処理

音声・音響信号の周波数解析、スペクトログラム、フィルタ設計（ローパス、ハイパス、バンドパス）、ノイズ除去に利用される。

画像処理

2次元フーリエ変換により画像の周波数成分を解析。JPEG圧縮（離散コサイン変換）、エッジ検出、画像フィルタリングで用いられる。

通信工学

変調・復調（AM, FM, OFDM）、チャネル特性解析、等化器設計の基礎となる。

量子力学

波動関数の運動量表現は位置表現のフーリエ変換： $$\tilde{\psi}(p) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \displaystyle\int \psi(x) e^{-ipx/\hbar} dx$$ 不確定性原理 $\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$ はフーリエ変換の帯域幅定理から導かれる。

偏微分方程式

熱方程式、波動方程式、Schrödinger方程式の解法で、空間微分を代数化する。

光学

回折・干渉現象（Fraunhofer回折）はフーリエ変換で記述される。レンズはフーリエ変換器として機能する。

確率論・統計学

特性関数（確率分布のフーリエ変換）により、畳み込み（独立変数の和の分布）が積に変換される。

離散フーリエ変換（DFT）

実際の数値計算では、離散サンプル $\{f_n\}_{n=0}^{N-1}$ に対する離散フーリエ変換（DFT）を用いる： $$F_k = \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} f_n e^{-2\pi i kn/N}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1$$

高速フーリエ変換（FFT）

DFTを $O(N \log N)$ で計算するアルゴリズム。Cooley-Tukeyアルゴリズム（1965）により実用化され、現代のデジタル信号処理の基盤となっている。

実装例

Python (NumPy/SciPy)

import numpy as np
from scipy.fft import fft, ifft, fftfreq
import matplotlib.pyplot as plt

# サンプル信号（2つの正弦波の和）
N = 1000
T = 1.0 / 800.0  # サンプリング間隔
t = np.linspace(0, N*T, N)
f = np.sin(50 * 2*np.pi*t) + 0.5*np.sin(120 * 2*np.pi*t)

# FFT
F = fft(f)
freq = fftfreq(N, T)

# パワースペクトル
power = np.abs(F)**2

# プロット
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.subplot(121)
plt.plot(t[:100], f[:100])
plt.title('Signal')
plt.subplot(122)
plt.plot(freq[:N//2], power[:N//2])
plt.title('Power Spectrum')
plt.show()

# 逆変換
f_reconstructed = ifft(F)
print(f"Reconstruction error: {np.max(np.abs(f - f_reconstructed)):.2e}")

MATLAB

% サンプル信号
Fs = 1000;  % サンプリング周波数
t = 0:1/Fs:1;
f = sin(2*pi*50*t) + 0.5*sin(2*pi*120*t);

% FFT
F = fft(f);
freq = (0:length(F)-1)*Fs/length(F);

% パワースペクトル
power = abs(F).^2;

% プロット
subplot(1,2,1); plot(t(1:100), f(1:100)); title('Signal');
subplot(1,2,2); plot(freq(1:end/2), power(1:end/2)); title('Power Spectrum');

発展

多次元フーリエ変換

$n$ 次元関数のフーリエ変換： $$\hat{f}(\boldsymbol{\omega}) = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}) e^{-i \boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{x}} d\mathbf{x}$$ （画像処理、CTスキャンで応用）

ラプラス変換

フーリエ変換の拡張（$s = \sigma + i\omega$）： $$\mathcal{L}[f(t)](s) = \displaystyle\int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt$$ （制御理論、回路解析で標準的）

z変換

離散時間信号のラプラス変換に相当： $$F(z) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n] z^{-n}$$ （デジタルフィルタ設計の基礎）

ウェーブレット変換

時間と周波数の両方を局所化する変換。非定常信号の解析に有効。

一般化フーリエ級数

内積空間における正規直交基底展開の一般化として、フーリエ変換を理解できる（関数解析の観点）。

参考文献

• Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.). McGraw-Hill.
• Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press.
• Oppenheim, A. V., & Willsky, A. S. (1997). Signals and Systems (2nd ed.). Prentice Hall.
• Brigham, E. O. (1988). The Fast Fourier Transform and Its Applications. Prentice Hall.
• Weisstein, E. W. "Fourier Transform." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

よくある質問