第2章: 弧長パラメータ
弧長の定義、弧長パラメータへの変換、単位速度曲線
はじめに
曲線のパラメータ表示は一意ではない。しかし、曲線に沿った「距離」（弧長）をパラメータとして用いると、曲線の幾何学的性質を最も自然に表現できる。
弧長の定義
定義：弧長
正則曲線 $\gamma: [a, b] \to \mathbb{R}^n$ の弧長（arc length）は
$$L = \int_a^b |\gamma'(t)| \, dt = \bigint_a^b \sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\frac{d\gamma_i}{dt}\right)^2} \, dt$$で定義される。
弧長の導出：折れ線近似から積分へ
上の定義式がなぜ曲線の長さを表すのか、折れ線近似から段階を追って導出する。
Step 1. 区間の分割
パラメータの区間 $[a, b]$ を $N$ 等分する：
$$a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_N = b, \qquad \Delta t = \frac{b - a}{N}$$曲線上の隣り合う2点 $\gamma(t_k)$ と $\gamma(t_{k+1})$ を直線で結ぶと、曲線に内接する折れ線ができる。
Step 2. 折れ線の全長
折れ線の全長は、各線分の長さ（2点間のユークリッド距離）の和である：
$$L_N = \sum_{k=0}^{N-1} |\gamma(t_{k+1}) - \gamma(t_k)|$$成分で書くと、$\gamma = (\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_n)$ として
$$L_N = \sum_{k=0}^{N-1} \sqrt{\sum_{i=1}^n \bigl(\gamma_i(t_{k+1}) - \gamma_i(t_k)\bigr)^2}$$Step 3. 微分の定義による1次近似
導関数の定義は
$$\gamma_i'(t_k) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\gamma_i(t_k + \Delta t) - \gamma_i(t_k)}{\Delta t}$$である。ここで $\lim$ を外し、有限の $\Delta t$ について考える。足すと $0$ になる $\gamma_i'(t_k)$ と $-\gamma_i'(t_k)$ を右辺に加え
$$\frac{\gamma_i(t_k + \Delta t) - \gamma_i(t_k)}{\Delta t} = \gamma_i'(t_k) + \left\{\frac{\gamma_i(t_k + \Delta t) - \gamma_i(t_k)}{\Delta t} - \gamma_i'(t_k)\right\}$$$\{\quad\}$ 内を $\varepsilon(\Delta t)$ と書くことにすると
$$\frac{\gamma_i(t_k + \Delta t) - \gamma_i(t_k)}{\Delta t} = \gamma_i'(t_k) + \varepsilon(\Delta t)$$導関数の定義から $\Delta t \to 0$ で $\varepsilon(\Delta t)$ は $0$ に収束する：
$$\lim_{\Delta t \to 0} \varepsilon(\Delta t) = \lim_{\Delta t \to 0} \left\{\frac{\gamma_i(t_k + \Delta t) - \gamma_i(t_k)}{\Delta t} - \gamma_i'(t_k)\right\} = \gamma_i'(t_k) - \gamma_i'(t_k) = 0$$つまり $\varepsilon(\Delta t)$ の定義より、有限の $\Delta t$ に対して次の等式が成り立つ（$\varepsilon(\Delta t)$ は $\Delta t \to 0$ で消える誤差）：
$$\frac{\gamma_i(t_k + \Delta t) - \gamma_i(t_k)}{\Delta t} = \gamma_i'(t_k) + \varepsilon(\Delta t)$$両辺に $\Delta t$ を掛ければ
$$\gamma_i(t_k + \Delta t) - \gamma_i(t_k) = \gamma_i'(t_k) \cdot \Delta t + \varepsilon(\Delta t) \cdot \Delta t$$$\Delta t$ が小さいとき、第2項 $\varepsilon(\Delta t)\cdot\Delta t$ は「$0$ に近づく量 $\times$ 小さい量」なので、第1項に比べて無視できる。したがって
$$\gamma_i(t_{k+1}) - \gamma_i(t_k) \approx \gamma_i'(t_k) \cdot \Delta t$$Step 4. リーマン和の形へ
Step 3 の結果を Step 2 に代入する：
\begin{align} L_N &\approx \sum_{k=0}^{N-1} \sqrt{\sum_{i=1}^n \bigl(\gamma_i'(t_k) \cdot \Delta t\bigr)^2} \\ & \quad \Delta t \text{ は } i \text{ に依存しないのでルートの外に出せる}(\Delta t > 0)\text{。} \\ &= \sum_{k=0}^{N-1} \sqrt{\sum_{i=1}^n \gamma_i'(t_k)^2} \;\cdot\; \Delta t \\ & \quad \sqrt{\sum_i \gamma_i'(t_k)^2}\ \text{は}\ \gamma'(t_k) = (\gamma_1'(t_k), \ldots, \gamma_n'(t_k))\ \text{のユークリッドノルム}\ |\gamma'(t_k)|\ \text{に等しいから} \\ &= \sum_{k=0}^{N-1} |\gamma'(t_k)| \cdot \Delta t \end{align}これは関数 $|\gamma'(t)|$ のリーマン和にほかならない。
Step 5. 極限をとる
$N \to \infty$（$\Delta t \to 0$）の極限で、リーマン和はリーマン積分に収束する：
$$L = \lim_{N \to \infty} L_N = \int_a^b |\gamma'(t)| \, dt = \bigint_a^b \sqrt{\sum_{i=1}^n \left(\frac{d\gamma_i}{dt}\right)^2}\, dt$$こうして、折れ線近似の長さの極限として弧長の積分公式が得られる。 $\blacksquare$
例：円の弧長
$\gamma(t) = (r\cos t, r\sin t)$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) について、
$$\gamma'(t) = (-r\sin t, r\cos t), \quad |\gamma'(t)| = r$$ $$L = \int_0^{2\pi} r \, dt = r \Big[t\Big]_0^{2\pi} = r (2\pi - 0) = 2\pi r$$これは円周の公式と一致する。
弧長関数
定義：弧長関数
正則曲線 $\gamma: I \to \mathbb{R}^n$ に対し、基点 $t_0 \in I$ からの弧長関数を
$$s(t) = \int_{t_0}^t |\gamma'(\tau)| \, d\tau \tag{1}$$と定義する。
$\gamma$ は正則で $|\gamma'| > 0$ であることから、$s(t)$ は $t$ の単調増加関数なので逆関数 $t(s)$ が存在し、次の命題が成り立つ。
命題：弧長関数の微分
$$\frac{ds}{dt} = |\gamma'(t)| \tag{2}$$すなわち、弧長の変化率は速度の大きさに等しい。
証明
式 (1) に微積分学の基本定理を適用すると、$\dfrac{ds}{dt} = \dfrac{d}{dt}\displaystyle\int_{t_0}^{t}|\gamma'(\tau)|\,d\tau = |\gamma'(t)|$。$\blacksquare$
弧長パラメータへの変換
定義：弧長パラメータ
曲線 $\gamma$ を弧長 $s$ でパラメータ化した曲線
$$\tilde{\gamma}(s) = \gamma(t(s))$$を弧長パラメータによる表示という。
定理：単位速度条件
曲線が弧長パラメータで表示されているとき、かつそのときに限り
$$|\gamma'(s)| = 1$$が成り立つ。このような曲線を単位速度曲線という。
証明
$\tilde{\gamma}(s) = \gamma(t(s))$ とする。連鎖律より
$$\tilde{\gamma}'(s) = \gamma'(t(s)) \cdot \frac{dt(s)}{ds}$$式 (2) より $\dfrac{ds}{dt} = |\gamma'(t)|$ である。$t(s)$ は $s(t)$ の逆関数なので、逆関数の微分法より $$\dfrac{dt}{ds} = \dfrac{1}{ds/dt} = \dfrac{1}{|\gamma'(t)|}$$したがって
$$|\tilde{\gamma}'(s)| = |\gamma'(t)| \cdot \frac{1}{|\gamma'(t)|} = 1 \quad \blacksquare$$弧長パラメータの利点
- 速度が常に1なので、曲線の「形」だけに注目できる
- 曲率などの幾何学的量の定義が簡潔になる
- パラメータの値がそのまま「曲線に沿った距離」を表す
計算例
例：らせんの弧長パラメータ化
らせん $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ ($a > 0$) を考える。
Step 1: 速度ベクトルを求める
$$\gamma'(t) = (-a\sin t, a\cos t, b)$$ \begin{align} |\gamma'(t)| &= \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + b^2} \\ & \quad \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \text{ より} \\ &= \sqrt{a^2 + b^2} \end{align}Step 2: 弧長関数を求める（$t_0 = 0$ として）
$$s(t) = \int_0^t \sqrt{a^2 + b^2} \, d\tau = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot t$$Step 3: $t$ を $s$ で表す
$$t = \frac{s}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$Step 4: 弧長パラメータ表示
$$\tilde{\gamma}(s) = \left(a\cos\frac{s}{c}, a\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c}\right),\quad c = \sqrt{a^2 + b^2}$$まとめ
- 弧長は曲線に沿った「距離」を表す積分量
- 弧長関数 $s(t) = \displaystyle\int |\gamma'| dt$ は単調増加
- 弧長パラメータで表示すると速度が常に1になる
- 弧長パラメータは曲線の幾何学的性質を調べるのに最適