第1章: 曲線のパラメータ表示

Q: パラメータ曲線とは何ですか？

区間 I から R^n（n ≥ 2）への滑らかな写像 γ: I → R^n のことである。パラメータ t を動かすと、γ(t) が空間内の曲線を描く。円や、自己交差する曲線・閉曲線のように y = f(x) の形では表しにくい曲線も扱える。微分幾何学では主に平面曲線（n = 2）や空間曲線（n = 3）を扱う。

Q: 正則曲線とは何ですか？

すべてのパラメータ値 t で速度ベクトル γ'(t) がゼロにならないパラメータ曲線のことである（C^1 級以上）。正則性により各パラメータ値で接線方向が一意に定まり、尖点や停留点を持たない。滑らかさは定義の前提であって、正則性から導かれるものではない（γ(t) = (t^3, t^2) は滑らかだが正則でない）。

Q: 再パラメータ化（reparametrization）とは何ですか？

滑らかな全単射 φ: J → I（すべての s で φ'(s) ≠ 0）を用いて γ̃(s) = γ(φ(s)) と新しいパラメータ表示に変換することである。幾何学的には同じ曲線を辿るが、パラメータの刻み方（速度）が変わる。φ' > 0 なら向きを保ち、φ' < 0 なら向きが逆になる。

曲線の定義、正則曲線、再パラメータ化

入門（大学1〜2年レベル）

はじめに

微分幾何学では、曲線を「パラメータ」によって表現する。1つの変数（パラメータ）の値を決めると曲線上の点が1つ定まるので、微分法を用いて曲線の性質を調べることができる。

曲線の定義

定義：パラメータ曲線

区間 $I \subset \mathbb{R}$ から $\mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）への滑らかな写像

$$\gamma: I \to \mathbb{R}^n, \quad t \mapsto \gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t), \ldots, \gamma_n(t))$$

をパラメータ曲線（parametric curve）という。ここで「滑らか」は $C^\infty$ 級（何回でも連続微分可能）の意味で使う。$I$ は開区間とし、閉区間 $[a, b]$ を使うときは端点では片側微分を考える。微分幾何学では主に $n = 2$（平面曲線）または $n = 3$（空間曲線）を扱う。

パラメータ曲線：区間 [a, b] の点 t が曲線上の点 γ(t) に対応し、接ベクトル γ'(t) が描かれている

図1：パラメータ曲線 — 区間 $[a, b]$ の各点 $t$ が曲線上の点 $\gamma(t)$ に対応する。赤い矢印は接ベクトル $\gamma'(t)$ を表す。

例：円・放物線・らせん

例1：単位円

$$\gamma(t) = (\cos t, \sin t), \quad t \in [0, 2\pi]$$

パラメータ $t$ は角度（弧度法）に対応する。

単位円 γ(t) = (cos t, sin t) のパラメータ表示。パラメータ t が角度に対応する

図2：単位円のパラメータ表示 — パラメータ $t$ が角度に対応し、点 $\gamma(t)$ が円周上を反時計回りに動く。

例2：放物線

$$\gamma(t) = (t, t^2), \quad t \in \mathbb{R}$$

$y = x^2$ のグラフをパラメータ表示したもの。

放物線 γ(t) = (t, t²) のパラメータ表示。t=0 が頂点、t=1 での接ベクトルが描かれている

図3：放物線のパラメータ表示 — $y = x^2$ のグラフを $\gamma(t) = (t, t^2)$ で表す。赤い矢印は $t = 1$ での接ベクトル $\gamma'(1) = (1, 2)$ を示す。

例3：らせん（helix）

$$\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt), \quad t \in \mathbb{R}$$

$a > 0$, $b \neq 0$ のとき、円柱に巻き付くらせんを表す。$b > 0$ なら $t$ の増加とともに上昇し、$b \lt 0$ なら下降する。

らせん γ(t) = (a cos t, a sin t, bt) を立体的に描いた図。円柱に巻き付く螺旋曲線と接ベクトル γ'(t) が描かれている

図4：らせん（helix）— $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ で $b > 0$ のとき、$z$ 軸のまわりを上昇する螺旋曲線（$b \lt 0$ なら下降する）。赤い矢印は接ベクトル $\gamma'(t)$ を表す。

正則曲線

定義：正則曲線

パラメータ曲線 $\gamma: I \to \mathbb{R}^n$ が正則（regular）であるとは、すべての $t \in I$ で

$$\gamma'(t) \neq \mathbf{0}$$

が成り立つことをいう。$\gamma'(t)$ を速度ベクトルという。（正則性の議論に必要なのは $\gamma$ が $C^1$ 級（少なくとも1回連続微分可能）であることまでで、$C^1$ 級の曲線にも同じ定義を使う。）

正則性の要点は $\gamma'(t) \neq \mathbf{0}$ という条件にある。滑らかさ（微分可能性）だけでは尖点は排除できない：下の例 $\gamma(t) = (t^3, t^2)$ は $C^\infty$ 級なのに原点に尖点を持つ。$\gamma'(t) \neq \mathbf{0}$ を課すと尖点や止まっている点が排除され、各パラメータ値 $t$ で接線方向が一意に定まる。

前節の 3 つの例はすべて正則である。単位円は $\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t)$ で $|\gamma'(t)| = 1$、放物線は $\gamma'(t) = (1, 2t)$ で $|\gamma'(t)| = \sqrt{1 + 4t^2} \geq 1$、らせんは $\gamma'(t) = (-a\sin t, a\cos t, b)$ で $|\gamma'(t)| = \sqrt{a^2 + b^2} > 0$（一定）である。

速度ベクトルの意味

$\gamma'(t) \neq \mathbf{0}$ のとき、$\gamma'(t) = \left(\dfrac{d\gamma_1}{dt}, \dfrac{d\gamma_2}{dt}, \ldots, \dfrac{d\gamma_n}{dt}\right)$ は、パラメータ $t$ における曲線の接線方向を表す（$\gamma'(t) = \mathbf{0}$ の点では方向を与えない）。パラメータ $t$ を時刻と解釈すれば、$\gamma'(t)$ は質点の速度に対応し、正則性は「常に動いている」ことを意味する。

例：正則でない曲線

$$\gamma(t) = (t^3, t^2), \quad t \in \mathbb{R}$$

$\gamma'(t) = (3t^2, 2t)$ より、$t = 0$ で $\gamma'(0) = (0, 0)$。したがって $t = 0$ で正則でない。

この曲線は原点で尖点（cusp）を持つ。

正則でない曲線 γ(t) = (t³, t²)。原点で尖点を持ち、γ'(0) = (0,0) となる

図5：正則でない曲線 $\gamma(t) = (t^3, t^2)$ — 原点で尖点を持つ。$t = 0$ で $\gamma'(0) = \mathbf{0}$ となり、速度ベクトルが接線方向を与えない。

再パラメータ化

同じ曲線を異なるパラメータで表現できる。

定義：再パラメータ化

区間 $J$ から $I$ への滑らかな全単射 $\phi: J \to I$ で、すべての $s \in J$ で $\phi'(s) \neq 0$ を満たすものをとる。このとき $\tilde{\gamma} = \gamma \circ \phi$ を $\gamma$ の再パラメータ化（reparametrization）という。

$$\tilde{\gamma}(s) = \gamma(\phi(s))$$

たとえば単位円 $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$（$t \in (0, 2\pi)$）に対し、$J = (0, \sqrt{2\pi})$ 上で $\phi(s) = s^2$ とおくと

$$\tilde{\gamma}(s) = \gamma(s^2) = (\cos s^2, \sin s^2)$$

は同じ円を辿るが、速度が異なる。$\gamma$ は等速で円を回るのに対し、$\tilde{\gamma}$ は $s$ が小さいとき遅く、大きくなるにつれて加速する。幾何学的には同じ曲線だが、パラメータの「刻み方」が違う。（$\phi'(s) = 2s$ が 0 になるのは $s = 0$ だけなので、$s = 0$ を含まない区間をとればよい。$J = (-\sqrt{2\pi}, 0)$ をとっても再パラメータ化になり、この場合は向きが逆になる。）

再パラメータ化の比較。左：t を等間隔にとると等間隔のノード。右：s を等間隔にとり t = s² で辿ると、始点付近に密集し、徐々に間隔が広がるノード

図6：再パラメータ化の比較 — 同じ単位円を、パラメータ $t$（左）と、$\phi(s) = s^2$ による再パラメータ化のパラメータ $s$（右）で辿る。$t$ を等間隔にとると円周上のノードも等間隔になるが、$s$ を等間隔にとると始点付近にノードが密集し、進むにつれて間隔が広がる。

命題：再パラメータ化の速度

$\tilde{\gamma} = \gamma \circ \phi$ のとき、連鎖律より

$$\tilde{\gamma}'(s) = \gamma'(\phi(s)) \cdot \phi'(s)$$

したがって、$\gamma$ が正則で、すべての $s \in J$ で $\phi'(s) \neq 0$ なら $\tilde{\gamma}$ も正則。

$\phi' > 0$ のとき「向きを保つ」再パラメータ化、$\phi' < 0$ のとき「向きを逆にする」再パラメータ化という。

まとめ

この記事でいうパラメータ曲線は、区間から空間への滑らかな写像として定義される（図形としての曲線はその像）
正則曲線は、すべてのパラメータ値で速度ベクトルがゼロでない曲線（$C^1$ 級以上）
同じ曲線を異なるパラメータで表現できる（再パラメータ化）
微分幾何では正則曲線を扱うことが基本

参考資料

よくある質問

Q1: パラメータ曲線とは何ですか？

区間 $I$ から $\mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）への滑らかな写像 $\gamma: I \to \mathbb{R}^n$ のことである。パラメータ $t$ を動かすと、$\gamma(t)$ が空間内の曲線を描く。円や、自己交差する曲線・閉曲線のように $y = f(x)$ の形では表しにくい曲線も扱える。微分幾何学では主に平面曲線（$n = 2$）や空間曲線（$n = 3$）を扱う。

Q2: 正則曲線とは何ですか？

すべてのパラメータ値 $t$ で速度ベクトル $\gamma'(t)$ がゼロにならないパラメータ曲線のことである（$C^1$ 級以上）。正則性により各パラメータ値で接線方向が一意に定まり、尖点や停留点を持たない。滑らかさは定義の前提であって、正則性から導かれるものではない（$\gamma(t) = (t^3, t^2)$ は滑らかだが正則でない）。

Q3: 再パラメータ化（reparametrization）とは何ですか？

滑らかな全単射 $\phi: J \to I$（すべての $s$ で $\phi'(s) \neq 0$）を用いて $\tilde{\gamma}(s) = \gamma(\phi(s))$ と新しいパラメータ表示に変換することである。幾何学的には同じ曲線を辿るが、パラメータの刻み方（速度）が変わる。$\phi' > 0$ なら向きを保ち、$\phi' \lt 0$ なら向きが逆になる。