パラメータ曲線とは何ですか？

パラメータ曲線とは、開区間 I から R^n（n≥2）への滑らかな写像 γ: I → R^n のことである。パラメータ t を動かすと、γ(t) が空間内の曲線を描く。微分幾何学では主に平面曲線（n=2）や空間曲線（n=3）を扱う。

正則曲線とは何ですか？

正則曲線とは、C^1級（少なくとも1回連続微分可能）であり、すべてのパラメータ t に対して速度ベクトル γ'(t) がゼロにならないパラメータ曲線のことである。正則性により各点で接線方向が一意に定まり、尖点や停留点を持たないことが保証される。

再パラメータ化（reparametrization）とは何ですか？

再パラメータ化とは、滑らかな関数 φ: J → I（φ'(s)≠0）を用いて γ̃(s) = γ(φ(s)) と新しいパラメータ表示に変換することである。幾何学的には同じ曲線を辿るが、パラメータの刻み方（速度）が変わる。φ'>0なら向きを保ち、φ'<0なら向きが逆になる。

第1章: 曲線のパラメータ表示

曲線の定義、正則曲線、パラメータ変換

はじめに

微分幾何学では、曲線を「パラメータ」によって表現する。これにより、曲線上の各点を1つの変数で指定でき、微分法を用いて曲線の性質を調べることができる。

曲線の定義

定義：パラメータ曲線

開区間 $I \subset \mathbb{R}$ から $\mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）への滑らかな写像

$$\gamma: I \to \mathbb{R}^n, \quad t \mapsto \gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t), \ldots, \gamma_n(t))$$

をパラメータ曲線（parametric curve）という。微分幾何学では主に $n = 2$（平面曲線）または $n = 3$（空間曲線）を扱う。

パラメータ曲線：区間 [a, b] の点 t が曲線上の点 γ(t) に対応し、接ベクトル γ'(t) が描かれている

図1：パラメータ曲線 — 区間 $[a, b]$ の各点 $t$ が曲線上の点 $\gamma(t)$ に対応する。赤い矢印は接ベクトル $\gamma'(t)$ を表す。

例：円と放物線

例1：単位円

$$\gamma(t) = (\cos t, \sin t), \quad t \in [0, 2\pi]$$

パラメータ $t$ は角度（弧度法）に対応する。

単位円 γ(t) = (cos t, sin t) のパラメータ表示。パラメータ t が角度に対応する

図2：単位円のパラメータ表示 — パラメータ $t$ が角度に対応し、点 $\gamma(t)$ が円周上を反時計回りに動く。

例2：放物線

$$\gamma(t) = (t, t^2), \quad t \in \mathbb{R}$$

$y = x^2$ のグラフをパラメータ表示したもの。

放物線 γ(t) = (t, t²) のパラメータ表示。t=0 が頂点、t=1 での接ベクトルが描かれている

図3：放物線のパラメータ表示 — $y = x^2$ のグラフを $\gamma(t) = (t, t^2)$ で表す。赤い矢印は $t = 1$ での接ベクトル $\gamma'(1) = (1, 2)$ を示す。

例3：らせん（helix）

$$\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt), \quad t \in \mathbb{R}$$

$a > 0$, $b \neq 0$ のとき、円柱に巻き付くらせんを表す。

らせん γ(t) = (a cos t, a sin t, bt) の3Dレイトレーシング。螺旋曲線と接ベクトル γ'(t) が描かれている

図4：らせん（helix）— $z$ 軸を中心に上昇する螺旋曲線 $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$。赤い矢印は接ベクトル $\gamma'(t)$ を表す。

正則曲線

定義：正則曲線

パラメータ曲線 $\gamma: I \to \mathbb{R}^n$ が正則（regular）であるとは、$\gamma$ が $C^1$ 級（少なくとも1回連続微分可能）であり、すべての $t \in I$ で

$$\gamma'(t) \neq \mathbf{0}$$

が成り立つことをいう。$\gamma'(t)$ を速度ベクトルという。

正則性は2つの条件を要求する：(1) 微分可能であること（尖点を持たない）、(2) 導関数がゼロにならないこと（止まっている点を持たない）。これにより曲線の各点で接線方向が一意に定まる。

速度ベクトルの意味

$\gamma'(t) = \left(\frac{d\gamma_1}{dt}, \frac{d\gamma_2}{dt}, \ldots, \frac{d\gamma_n}{dt}\right)$ は、パラメータ $t$ における曲線の接線方向を表す。パラメータ $t$ を時刻と解釈すれば、$\gamma'(t)$ は質点の速度に対応し、正則性は「常に動いている」ことを意味する。

例：正則でない曲線

$$\gamma(t) = (t^3, t^2), \quad t \in \mathbb{R}$$

$\gamma'(t) = (3t^2, 2t)$ より、$t = 0$ で $\gamma'(0) = (0, 0)$。したがって $t = 0$ で正則でない。

この曲線は原点で尖点（cusp）を持つ。

正則でない曲線 γ(t) = (t³, t²)。原点で尖点を持ち、γ'(0) = (0,0) となる

図5：正則でない曲線 $\gamma(t) = (t^3, t^2)$ — 原点で尖点を持つ。$t = 0$ で $\gamma'(0) = \mathbf{0}$ となり、接線方向が定まらない。

パラメータ変換

同じ曲線を異なるパラメータで表現できる。たとえば単位円 $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ に対し、$\phi(s) = s^2$ とおくと

$$\tilde{\gamma}(s) = \gamma(s^2) = (\cos s^2, \sin s^2)$$

は同じ円を辿るが、速度が異なる。$\gamma$ は等速で円を回るのに対し、$\tilde{\gamma}$ は $s$ が小さいとき遅く、大きくなるにつれて加速する。幾何学的には同じ曲線だが、パラメータの「刻み方」が違う。（ただし $\phi'(s) = 2s$ は $s = 0$ でゼロになるため、厳密には $s > 0$ の範囲でのみ正則な再パラメータ化である。）

再パラメータ化の比較。左：等間隔パラメータで等間隔のノード。右：s²パラメータで始点付近に密集し、徐々に間隔が広がるノード

図6：再パラメータ化の比較 — 同じ単位円をパラメータ $t$（左）と $s^2$（右）で辿る。$t$ を等間隔にとると円周上のノードも等間隔になるが、$s$ を等間隔にとると始点付近にノードが密集し、進むにつれて間隔が広がる。

定義：パラメータ変換

$\phi: J \to I$ が滑らかで $\phi'(s) \neq 0$ を満たすとき、$\tilde{\gamma} = \gamma \circ \phi$ を $\gamma$ の再パラメータ化（reparametrization）という。

$$\tilde{\gamma}(s) = \gamma(\phi(s))$$

命題：再パラメータ化の速度

$\tilde{\gamma} = \gamma \circ \phi$ のとき、連鎖律より

$$\tilde{\gamma}'(s) = \gamma'(\phi(s)) \cdot \phi'(s)$$

したがって、$\gamma$ が正則で $\phi' \neq 0$ なら $\tilde{\gamma}$ も正則。

$\phi' > 0$ のとき「向きを保つ」再パラメータ化、$\phi' < 0$ のとき「向きを逆にする」再パラメータ化という。

まとめ

曲線は区間から空間への滑らかな写像として定義される
正則曲線は、すべての点で速度ベクトルがゼロでない曲線
同じ曲線を異なるパラメータで表現できる（再パラメータ化）
微分幾何では正則曲線を扱うことが基本