微分 上級

解析学の深化と一般化（大学院レベル）

上級の概要

上級では、解析学のより深い理論と現代的な視点を学ぶ。多様体上の微分、偏微分方程式の理論、関数解析的手法まで扱う。

学習目標

  • 多様体上の微分形式を理解する
  • 偏微分方程式の分類と基本的解法を学ぶ
  • ソボレフ空間と弱解の概念を理解する
  • 変分法と汎関数の微分を習得する
  • 微分幾何の基礎を理解する
  • 行列・ベクトルによる微分を習得する

目次

  1. 第1章 微分形式

    外積、外微分、ストークスの定理の一般化

  2. 第2章 偏微分方程式入門

    楕円型・放物型・双曲型、基本的な解法

  3. 第3章 ソボレフ空間と弱解

    弱微分、ソボレフ埋め込み、弱解の存在

  4. 第4章 変分法

    汎関数の微分、オイラー・ラグランジュ方程式、変分原理

  5. 第5章 リーマン幾何入門

    リーマン計量、接続、曲率テンソル

  6. 第6章 行列微分

    ベクトル・行列による微分。機械学習や最適化で必須の技法

  7. 第7章 練習問題

    上級の総合演習

前提知識

  • 微分 中級の内容
  • 位相空間論の基礎
  • ルベーグ積分の基礎
  • 関数解析の基礎（ノルム空間、バナッハ空間）