カルダーノは虚数を「数」と認めたか？

認めなかった。彼は「計算の道具」として扱い、本質的な数ではないと考えた。本格的な正当化はガウスを待つことになる。

なぜ「虚」という字が使われるのか？

ラテン語の imaginarius (想像上の) の訳語である。実数 (real number) と対比して「実在しない数」というニュアンスだが、現代ではこの呼び方は単に歴史的経緯を残している。

実数解だけを持つ場合でも、カルダーノ公式は虚数を経由する。これを「不可避な経由 (casus irreducibilis)」と呼ぶ。三角関数を使う別解法もあるが、虚数を使う方が一般性が高い。

The Birth of Imaginary Numbers

「虚数」がいつ・なぜ・どうやって発見されたのかを知る。

16 世紀のイタリアでは、3 次方程式の解法をめぐって熱い数学論争が繰り広げられていた。タルタリア、カルダーノ、ボンベリらの数学者は、解の公式を求めて競い合った。

1545 年、カルダーノは『偉大なる術』を出版し、3 次方程式の解の公式（カルダーノの公式）を公表した。しかしこの公式には不思議なことが起きていた。実数解しか持たない 3 次方程式でも、計算の途中で「負の数の平方根」が現れることがあったのである。

$x^3 = 15x + 4$ をカルダーノ公式で:

$x = \sqrt[3]{2 + 11i} + \sqrt[3]{2 - 11i}$

虚数が途中に出てくる！

→ ボンベリが整理:

$\sqrt[3]{2 \pm 11i} = 2 \pm i$

$\therefore\ x = (2 + i) + (2 - i) = 4$

実数解を得るために虚数を経由

図 1: カルダーノ公式に現れる虚数 $\sqrt[3]{2 \pm 11i}\,(= 2 \pm i)$ を経由して実数解 $x = 4$ を得る

1572 年、ボンベリは Algebra を出版し、$\sqrt{-1}$ を「計算規則を満たす記号」として扱う方法を整理した。彼は「これは狂気じみた考えだ」と述べたが、実用上の必要から虚数の代数を作り上げた。

明らかに $x = 4$ が解だが、カルダーノ公式に入れると $\sqrt{-121}$ が現れる。ボンベリの計算規則 $\sqrt{-121} = 11\sqrt{-1}$ を使うと、立方根を経由して $x = 4$ が得られる。

17 〜 18 世紀には、デカルト・オイラー・ガウスらが虚数を体系的に扱った。デカルトは「imaginary number（想像上の数）」という、やや軽蔑的な名前を残した。オイラーは記号 $i$ を導入し、ガウスは 1797 年に複素平面を発表して虚数を幾何的に正当化した。

こうして 250 年かけて、虚数は「狂気じみた」概念から「正統な数」へと地位を上げた。現代の物理・工学・数学のあらゆる場面で活躍している。