虚数単位 i とは何ですか？

虚数単位 i は i² = −1 を満たす数として定義されます。i のべき乗は周期4で繰り返し、i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 となります。

複素数の四則演算はどのように行いますか？

加減法は実部同士・虚部同士を計算します。乗法は分配法則で展開し i² = −1 を適用します。除法は分母の共役複素数を分母分子に掛けて分母を実数化します。

共役複素数と絶対値の関係は？

複素数 z = a + bi の共役複素数は z̄ = a − bi です。z·z̄ = a² + b² = |z|² が成り立ち、絶対値 |z| = √(a² + b²) は複素平面での原点からの距離を表します。

第1章: 複素数の定義と演算

虚数単位、四則演算、共役複素数、絶対値

動機

実数の範囲では、2乗して負になる数は存在しない。例えば、方程式

$$x^2 + 1 = 0$$

には実数解がない。なぜなら、任意の実数 $x$ に対して $x^2 \geq 0$ なので、$x^2 + 1 \geq 1 > 0$ となるからである。

この問題を解決するために、数学者たちは新しい数を導入した。それが虚数単位 $i$ である。

虚数単位の定義

定義：虚数単位

虚数単位（imaginary unit）$i$ は、次の性質を満たす数として定義される：

$$i^2 = -1$$

すなわち、$i = \sqrt{-1}$ である。

$i$ のべき乗

$i$ のべき乗は周期的なパターンを示す：

$i^0 = 1$
$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = i^2 \cdot i = -i$
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
$i^5 = i^4 \cdot i = i$
...

このように、$i$ のべき乗は周期4で繰り返す。一般に $i^n = i^{n \mod 4}$ である。

複素数の定義

定義：複素数

複素数（complex number）とは、次の形で表される数です：

$$z = a + bi$$

ここで $a$, $b$ は実数、$i$ は虚数単位である。

$a$ を $z$ の実部（real part）といい、$\mathrm{Re}(z) = a$ と書く
$b$ を $z$ の虚部（imaginary part）といい、$\mathrm{Im}(z) = b$ と書く

複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ と書く。

例：複素数の例

$z = 3 + 2i$：$\mathrm{Re}(z) = 3$, $\mathrm{Im}(z) = 2$
$z = -1 + 4i$：$\mathrm{Re}(z) = -1$, $\mathrm{Im}(z) = 4$
$z = 5$：$\mathrm{Re}(z) = 5$, $\mathrm{Im}(z) = 0$（実数は複素数の特別な場合）
$z = 3i$：$\mathrm{Re}(z) = 0$, $\mathrm{Im}(z) = 3$（純虚数と呼ばれる）

複素数の相等

2つの複素数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ と $z_2 = a_2 + b_2 i$ が等しいとは、

$$a_1 = a_2 \quad \text{かつ} \quad b_1 = b_2$$

が成り立つことをいう。すなわち、実部と虚部がそれぞれ等しいときに限り、2つの複素数は等しくなる。

複素数の四則演算

加法と減法

$z_1 = a_1 + b_1 i$, $z_2 = a_2 + b_2 i$ に対して：

$$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$$ $$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$$

つまり、実部同士、虚部同士を足し引きする。

例：加法と減法

$(3 + 2i) + (1 - 4i) = (3+1) + (2-4)i = 4 - 2i$

$(3 + 2i) - (1 - 4i) = (3-1) + (2-(-4))i = 2 + 6i$

乗法

$z_1 = a_1 + b_1 i$, $z_2 = a_2 + b_2 i$ に対して：

\begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) \\ &= a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2 \\ &= a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i - b_1 b_2 \quad (\because i^2 = -1) \\ &= (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + b_1 a_2)i \end{align*}

例：乗法

$(2 + 3i)(1 - i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-i)$

$= 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$

除法

$z_2 \neq 0$ のとき、$\displaystyle\frac{z_1}{z_2}$ は分母の共役複素数を掛けることで計算できる：

$$\frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 - a_1 b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}$$

例：除法

$\displaystyle\frac{3 + 2i}{1 - i}$ を計算する。分母の共役複素数 $1 + i$ を分母分子に掛ける：

$$\frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 - i^2} = \frac{3 + 5i - 2}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$$

共役複素数

定義：共役複素数

複素数 $z = a + bi$ に対して、その共役複素数（complex conjugate）$\bar{z}$ を次で定義する：

$$\bar{z} = a - bi$$

すなわち、虚部の符号を反転させたものである。

共役複素数の性質

$z$, $w$ を複素数とするとき、次が成り立つ：

$\overline{\bar{z}} = z$
$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$
$\overline{z - w} = \bar{z} - \bar{w}$
$\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}}$（$w \neq 0$）
$z + \bar{z} = 2\mathrm{Re}(z)$
$z - \bar{z} = 2i\mathrm{Im}(z)$
$z \cdot \bar{z} = |z|^2$（後述の絶対値）

証明（一部）

$z = a + bi$, $w = c + di$ とする。

(2) の証明：

$$\overline{z + w} = \overline{(a+c) + (b+d)i} = (a+c) - (b+d)i = (a-bi) + (c-di) = \bar{z} + \bar{w}$$

(6) の証明：

$$z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a = 2\mathrm{Re}(z)$$

(7) の証明：

$$z - \bar{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi = 2i\mathrm{Im}(z)$$

絶対値

定義：複素数の絶対値

複素数 $z = a + bi$ の絶対値（absolute value）またはモジュラス（modulus）$|z|$ を次で定義する：

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

これは複素平面における原点からの距離に対応する。

絶対値と共役複素数の関係

$z = a + bi$ のとき：

$$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2 = |z|^2$$

したがって、$|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$ とも書ける。

絶対値の性質

$z$, $w$ を複素数とするとき、次が成り立つ：

$|z| \geq 0$、等号成立は $z = 0$ のときのみ
$|\bar{z}| = |z|$
$|zw| = |z||w|$
$\displaystyle\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}$（$w \neq 0$）
$|z + w| \leq |z| + |w|$（三角不等式）
$||z| - |w|| \leq |z - w|$

証明（乗法性）

$z = a + bi$, $w = c + di$ とする。

$$|zw|^2 = (zw)\overline{(zw)} = zw \cdot \bar{z}\bar{w} = (z\bar{z})(w\bar{w}) = |z|^2|w|^2$$

$|zw| \geq 0$, $|z||w| \geq 0$ より、$|zw| = |z||w|$。

例：絶対値の計算

$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
$|5| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$（実数の絶対値と一致）
$|3i| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$

逆数

複素数の逆数

$z \neq 0$ のとき、$z$ の逆数 $z^{-1} = \displaystyle\frac{1}{z}$ は次のように表される：

$$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$$

導出

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot \frac{\bar{z}}{\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{z\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$$

例：逆数の計算

$z = 3 + 4i$ の逆数を求める。

$|z|^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, $\bar{z} = 3 - 4i$ より

$$\frac{1}{3 + 4i} = \frac{3 - 4i}{25} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$$

まとめ

虚数単位 $i$ は $i^2 = -1$ を満たす数
複素数 $z = a + bi$ は実部 $a$ と虚部 $b$ からなる
四則演算は $i^2 = -1$ を使って計算する
共役複素数 $\bar{z} = a - bi$ は虚部の符号を反転
絶対値 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ は原点からの距離
$z\bar{z} = |z|^2$ が成り立つ