ゼータ関数と素数の音楽 ― 複素平面に響く数論

ひとくちメモ：ゼータは「対数目盛りの櫛」の変換

「ゼータは何の変換なのか」と問うと、信号の見方がもう一段ひらける。鍵は $n^{-s}=e^{-s\ln n}$ と書けることだ。

• いちばん素直なのは「くし（Dirac comb）」のラプラス変換： $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-s\ln n}=\mathcal{L}\!\left[\sum_{n=1}^{\infty}\delta(t-\ln n)\right](s).$$ $t=\ln 1,\ln 2,\ln 3,\dots$ に単位インパルスを立てた櫛のラプラス変換である（図 1 上段）。なめらかにしたければ階段関数で $\zeta(s)=s\displaystyle\int_0^\infty \lfloor e^{t}\rfloor\,e^{-st}\,dt$ とも書ける。
• 素数の櫛なら $-\zeta'/\zeta$： $$-\frac{\zeta'}{\zeta}(s)=\sum_{n}\Lambda(n)\,n^{-s}=\mathcal{L}\!\left[\sum_{p^{k}}\ln p\,\cdot\,\delta(t-\ln p^{k})\right](s).$$ ここで $\Lambda$ はフォン・マンゴルト関数（$n=p^{k}$ が素数べきなら $\Lambda(n)=\ln p$、それ以外は $0$）。素数べき $p^{k}$ の対数の位置に高さ $\ln p$ のインパルスが立つ ―― 素数そのものが「対数目盛り上のパルス列」として並ぶ（図 1 下段）。
• いちばんきれいな積分形はメリン変換（ラプラスの「掛け算版の双子」）：$\Gamma(s)\,\zeta(s)=\displaystyle\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t-1}\,dt$。被積分の $\dfrac{1}{e^t-1}=\displaystyle\sum_{n\ge1}e^{-nt}$ は物理のボーズ＝アインシュタイン分布（プランクの黒体放射に出てくるあれ）で、$n^{-s}\Gamma(s)=\displaystyle\int_0^\infty t^{s-1}e^{-nt}\,dt$ を $n$ について足すだけで出る。

こうして ζ は「対数目盛りに並んだ整数（あるいは素数）の櫛」を変換したものだと分かる。この櫛を入力、零点を周波数と見れば、その逆変換が次節の波（図 2）になる ―― 入口と出口が一本の線でつながる。

ひとくちメモ：零点が「音符」だというのは比喩ではない

素数の分布を測る関数 ―― チェビシェフ関数 $\psi(x) = \displaystyle\sum_{p^k \le x} \ln p$（おおよそ「$x$ 以下の素数とそのべきの、重み付きの個数」）―― は、ゼータ関数の零点を使った明示公式（フォン・マンゴルトの公式）によって、近似ではなくぴったり等しい形で書ける：

$$\psi(x) = x \;-\; \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} \;-\; \ln(2\pi) \;-\; \tfrac{1}{2}\ln\!\left(1 - x^{-2}\right).$$

主役は、なめらかな主要項 $x$ と、非自明な零点 $\rho$ すべてにわたる和 $\displaystyle\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho}$ だ。零点が臨界線上にあれば $\rho = \tfrac{1}{2} + i\gamma$ と書けて、$x^{\rho} = \sqrt{x}\,x^{i\gamma} = \sqrt{x}\,\bigl(\cos(\gamma \ln x) + i\sin(\gamma \ln x)\bigr)$ となる。つまり零点ひとつひとつが、$\sqrt{x}$ にくるまれた振動（波）を生み、その周波数を決めるのが零点の高さ $\gamma$（虚部）なのだ。共役な零点 $\bar\rho$ と組にすれば、波はきれいな余弦になる。素数の分布は、こうして無数の零点が生む波の重ね合わせ ―― まさに合奏として聞こえてくる。「素数の音楽」とは、この事実をそのまま言い表した言葉なのである。

ひとくちメモ：零点を「極」に裏返すと音になる

信号の言葉では、逆ラプラス変換で音（モード）を生むのは関数の極である。ところが $\zeta(s)$ にとって零点は「消える点」であって極ではない（極は $s=1$ のただ一つ）。そこで零点を分母に回して極に裏返すと、ようやく鳴り出す。

• $\dfrac{1}{\zeta(s)} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s}$（$\mu$ はメビウス関数）。零点と極が入れ替わり、逆変換すると各零点が $x^{\rho}=\sqrt{x}\,e^{i\gamma\ln x}$ 型の振動 ―― 対数目盛り $t=\ln x$ で見れば $e^{t/2}\cos(\gamma t)$ ―― を生む。その部分和がメルテンス関数 $M(x)=\displaystyle\sum_{n\le x}\mu(n)\approx\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho\,\zeta'(\rho)}$ である。
• $-\dfrac{\zeta'}{\zeta}(s)=\displaystyle\sum_{n}\frac{\Lambda(n)}{n^s}$ も、$\zeta$ の零点 $\rho$ に極をもつ。しかもその留数（複素解析の residue ＝ 極のまわりで $\frac{1}{s-\rho}$ に掛かる係数）が、零点の位数に等しく、単純な零点ならきれいに $1$ になる ―― $1/\zeta(s)$ の留数 $1/\zeta'(\rho)$ のように零点ごとにばらつかない。だから、各零点 $\rho$ に立つこの極が、ちょうど一つの音符 $x^{\rho}/\rho$ を等しい重みで生む。その和（逆変換）が上の明示公式 $\psi(x)=x-\displaystyle\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}-\ln(2\pi)-\tfrac{1}{2}\ln\!\left(1-x^{-2}\right)$ そのもの ―― これが図 2 で見た標準の「素数の音楽」だ。

どちらの音符も $x^{\rho} = x^{\operatorname{Re}\rho}\,e^{i\gamma\ln x}$。リーマン予想「すべての零点が $\operatorname{Re}\rho=\tfrac{1}{2}$」は、どの音符も同じ $\sqrt{x}$ の包絡線で鳴り、ひとつだけ突出して大きくならないという主張にほかならない（メルテンス関数なら $M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon})$ と同値）。

読書案内 ― 出典

「素数の音楽」という言葉を広めたのは、マーカス・デュ・ソートイ『素数の音楽』（Marcus du Sautoy, The Music of the Primes, 2003 ／ 冨永星 訳・新潮社・2005、のち新潮文庫）である。リーマン、ヒルベルト、ハーディ、ラマヌジャン、モンゴメリー ―― 零点に魅入られた数学者たちの人間ドラマと歴史を、数式をほとんど使わずに描いた一般向けの名著だ。本書が「あえて書かなかった」数式の側 ―― オイラー積・明示公式・変換と零点の仕組み ―― を覗いてみたのが、この記事である。物語のほうはぜひ本書で。

また、上の音声で触れた「数学から音をつくる」発想の源流は、作曲家自身の理論書 ―― イアニス・クセナキス Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition（Pendragon Press, 1992 ／ 原著 Musiques formelles, 1963）―― にある。確率過程でつくる音塊（《メタスタシス》《ピソプラクタ》）、集合論やふるい理論（théorie des cribles ―― 剰余類 $n \equiv a \pmod m$ の合併で音階やリズムを生成する、エラトステネスの篩の一般化）など、数論・確率・論理を作曲に持ち込んだ実践が本人の言葉で読める。素数のゼータ零点から音を立ち上げる本記事の試みは、その遠い親戚といえる。