Wirtinger微分

Wirtinger Derivatives

導入

Wirtinger微分（Wirtinger derivatives）は、複素変数に依存する関数（実数値・複素数値を問わず）に対する微分演算子である。 Wilhelm Wirtingerにちなんで名付けられたこの微分は、複素平面上の関数を $z$ と $z^*$ の2つの独立な変数の関数として扱う。 特に、正則でない関数（特に実数値関数）の最適化問題において極めて有用であり、 複素数を含む最適化問題を実数の場合と同様に扱えるようにする。

なぜWirtinger微分が必要か

通常の複素微分（Cauchy-Riemann方程式を満たす正則関数の微分）では、実数値関数 $f(z) = |z|^2$ のような 正則でない関数を扱えない。しかし信号処理や機械学習では、複素パラメータに依存する実数値の 損失関数を最小化する必要が頻繁に生じる。Wirtinger微分はこのような問題に対する自然な枠組みを提供する。

複素数値関数に対しても定義できるが、正則関数の場合は通常の複素微分で十分である。 Wirtinger微分の真価は、$z$ と $z^*$ の両方に依存する関数（非正則関数）を扱う際に発揮される。

定義

複素変数 $z = x + iy$（$x, y \in \bbR$）に依存する関数 $f(z, z^*)$ を考える。 ここで、$z^* = x - iy$ は $z$ の複素共役である。

定義（Wirtinger微分演算子）

$z = x + iy$ に対し、Wirtinger微分演算子を次のように定義する：

\begin{align} \dfrac{\partial}{\partial z} &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} - i\dfrac{\partial}{\partial y}\right) \label{eq:wirtinger-z}\\ \dfrac{\partial}{\partial z^*} &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + i\dfrac{\partial}{\partial y}\right) \label{eq:wirtinger-zbar} \end{align}

係数 $\dfrac{1}{2}$ の意味

係数 $\dfrac{1}{2}$ は、$\dfrac{\partial z}{\partial z} = 1$ となるように選ばれている。 実際、$z = x + iy$ より：

$$\dfrac{\partial z}{\partial z} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} - i\dfrac{\partial}{\partial y}\right)(x + iy) = \dfrac{1}{2}(1 + 1) = 1$$

実部・虚部微分での表現

式(\ref{eq:wirtinger-z})、(\ref{eq:wirtinger-zbar})を連立方程式として解くと、実部・虚部による微分をWirtinger微分で表すことができる：

\begin{align} \dfrac{\partial}{\partial x} &= \dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{\partial}{\partial z^*}\\ \dfrac{\partial}{\partial y} &= i\left(\dfrac{\partial}{\partial z} - \dfrac{\partial}{\partial z^*}\right) \end{align}

基本的な性質

定理（基本的な微分公式）

複素スカラー $z$, $w$ に対して：

\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial z} &= 1, & \dfrac{\partial z}{\partial z^*} &= 0 \label{eq:basic-diff-1}\\ \dfrac{\partial z^*}{\partial z} &= 0, & \dfrac{\partial z^*}{\partial z^*} &= 1 \label{eq:basic-diff-2}\\ \dfrac{\partial |z|^2}{\partial z} &= z^*, & \dfrac{\partial |z|^2}{\partial z^*} &= z \label{eq:abs-z-sq-diff}\\ \dfrac{\partial (z^* w)}{\partial z} &= 0, & \dfrac{\partial (z^* w)}{\partial z^*} &= w \label{eq:product-diff} \end{align}

証明の例：$\dfrac{\partial}{\partial z^*} |z|^2 = z$

ステップ1：$|z|^2$ を実部・虚部で表す。

$z = x + iy$ とすると、$z^* = x - iy$ である。したがって：

\begin{equation} |z|^2 = z z^* = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 = x^2 + y^2 \label{eq:proof-step1} \end{equation}

ステップ2：Wirtinger微分演算子の定義を $|z|^2$ に適用する。

式 \eqref{eq:wirtinger-zbar} のWirtinger微分演算子の定義を、式 \eqref{eq:proof-step1} の $|z|^2 = x^2 + y^2$ に適用すると：

\begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial z^*} |z|^2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + i\dfrac{\partial}{\partial y}\right) (x^2 + y^2) \label{eq:proof-step2} \end{equation}

ここで、左辺は演算子 $\dfrac{\partial}{\partial z^*}$ が関数 $|z|^2$ に作用することを表す。

ステップ3：$x$ による偏微分を計算する。

式 \eqref{eq:proof-step2} の $(x^2 + y^2)$ を $x$ で偏微分すると：

\begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x + 0 = 2x \label{eq:proof-step3} \end{equation}

ステップ4：$y$ による偏微分を計算する。

式 \eqref{eq:proof-step2} の $(x^2 + y^2)$ を $y$ で偏微分すると：

\begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 0 + 2y = 2y \label{eq:proof-step4} \end{equation}

ステップ5：計算結果を代入する。

式 \eqref{eq:proof-step2} に式 \eqref{eq:proof-step3} と式 \eqref{eq:proof-step4} を代入すると：

\begin{align} \dfrac{\partial}{\partial z^*} |z|^2 &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + i\dfrac{\partial}{\partial y}\right) (x^2 + y^2) \tag{\ref{eq:proof-step2}より}\\ &= \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) + i\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2)\right] \tag{演算子を分配}\\ &= \dfrac{1}{\cancel{2}}\left[\cancel{2}x + i \cdot \cancel{2}y\right] \tag{\ref{eq:proof-step3}, \ref{eq:proof-step4}を代入}\\ &= x + iy \label{eq:proof-step5-4}\\ &= z \label{eq:proof-step5-5} \end{align}

よって、$\dfrac{\partial}{\partial z^*} |z|^2 = z$ が示された。□

Cauchy-Riemann方程式との関係

定理（正則性の特徴づけ）

関数 $f(z)$ が正則である（Cauchy-Riemann方程式を満たす）ための必要十分条件は：

\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0 \label{eq:holomorphic-condition} \end{equation}

なぜ「$z^*$ に依存しない」= 正則なのか？

この同値性を理解するには、Wirtinger微分の枠組みを正しく捉える必要がある。

1. Wirtinger微分の枠組み

Wirtinger微分では、$z$ と $z^*$ を形式的に独立な変数として扱う。 これは一見奇妙に思えるかもしれない（$z^*$ は $z$ の複素共役なので独立ではない）が、 この枠組みでは任意の関数 $f(z, z^*)$ を $z$ と $z^*$ の2変数関数として表現す。

例：

  • $|z|^2 = z z^*$ は $z$ と $z^*$ の両方に依存
  • $z^2 + z$ は $z$ のみに依存（$z^*$ には依存しない）
  • $e^z \sin z$ は $z$ のみに依存

2. 正則関数の3つの同値な定義

(a) 複素微分可能性

$f(z)$ が点 $z_0$ で正則 $\Leftrightarrow$ 複素微分 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(z_0+h) - f(z_0)}{h}$ が存在

ここで $h \in \bbC$ であり、複素平面上のどの方向から $0$ に近づいても極限が一致しなければならない。 これは実関数の微分（左右からの極限のみ）よりはるかに強い条件である。

(b) Cauchy-Riemann方程式

$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ が正則 $\Leftrightarrow$ 次を満たす：

\begin{equation} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x} \label{eq:cauchy-riemann} \end{equation}

(c) Wirtinger微分による特徴づけ

$f(z)$ が正則 $\Leftrightarrow$ 次を満たす：

$$\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0 \tag{\ref{eq:holomorphic-condition}}$$

3. なぜ (b) と (c) が同値なのか

Wirtinger微分演算子の定義：

$$\dfrac{\partial}{\partial z^*} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + i\dfrac{\partial}{\partial y}\right) \tag{\ref{eq:wirtinger-zbar}}$$

を $f = u + iv$ に作用させると：

\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial z^*} &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + i\dfrac{\partial}{\partial y}\right)(u + iv) \label{eq:holomorphic-proof-1}\\ &= \dfrac{1}{2}\left[\left(\underbrace{\dfrac{\partial u}{\partial x} - \dfrac{\partial v}{\partial y}}_{=0}\right) + i\left(\underbrace{\dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y}}_{=0}\right)\right] \label{eq:holomorphic-proof-2}\\ &= 0 \end{align}

式 \eqref{eq:holomorphic-condition} より、この式が 0 になる条件は：

  • 実部 = 0：$\dfrac{\partial u}{\partial x} - \dfrac{\partial v}{\partial y} = 0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}$
  • 虚部 = 0：$\dfrac{\partial v}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y} = 0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}$

これはまさに式 \eqref{eq:cauchy-riemann} のCauchy-Riemann方程式である！

4. 直感的理解

$z$ と $z^*$ を独立変数として扱う枠組みでは：

  • 一般の関数は $f(z, z^*)$ と書ける（例：$|z|^2 = zz^*$）
  • 正則関数は $z$ だけで表現できる（例：$z^2$, $e^z$, $\sin z$）
  • 「$z^*$ に依存しない」 = 「$\dfrac{\partial}{\partial z^*}$ しても変化しない」 = 式 \eqref{eq:holomorphic-condition}

したがって、式 \eqref{eq:holomorphic-condition} は「$f$ が $z$ のみの関数」であることを表し、 これが正則性の本質である。

実関数の最適化

Wirtinger微分の最も重要な応用は、複素パラメータに依存する実数値関数の最適化である。

定理（停留点の条件）

$f: \bbC \to \bbR$ を実数値関数とする。次の3条件は同値である：

$$z_0 \text{ が } f \text{ の停留点} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{\partial f}{\partial z^*}\bigg|_{z=z_0} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{\partial f}{\partial z}\bigg|_{z=z_0} = 0$$

証明

ステップ1：停留点の定義

$f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ の停留点 $z_0$ とは、勾配が消える点である：

\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{z=z_0} = 0 \text{ かつ } \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{z=z_0} = 0 \label{eq:stationary-def} \end{equation}

$f$ が実数値なので、$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ と $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ はともに実数である。

ステップ2：$\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0$ との同値性

式 \eqref{eq:wirtinger-zbar} より：

\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial z^*} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x} + i\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \label{eq:wirtinger-zbar-app} \end{equation}

$\dfrac{\partial f}{\partial x}$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ は実数だから、式 \eqref{eq:wirtinger-zbar-app} が $0$ になるのは実部・虚部がともに $0$ のとき、すなわち式 \eqref{eq:stationary-def} と同値である。

ステップ3：$\dfrac{\partial f}{\partial z} = 0$ との同値性

式 \eqref{eq:wirtinger-z} より：

\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x} - i\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \label{eq:wirtinger-z-app} \end{equation}

同様に、$\dfrac{\partial f}{\partial x}$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ は実数だから、式 \eqref{eq:wirtinger-z-app} が $0$ になるのも式 \eqref{eq:stationary-def} と同値である。

結論

ステップ2,3より、$\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0$ および $\dfrac{\partial f}{\partial z} = 0$ はいずれも停留条件 \eqref{eq:stationary-def} と同値である。□

重要な関係式

$f$ が実数値関数の場合、Wirtinger微分には以下の関係が成り立つ：

\begin{equation} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \left( \dfrac{\partial f}{\partial z^*} \right)^* \label{eq:wirtinger-conjugate} \end{equation}

したがって、$\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0$ ならば、自動的に $\dfrac{\partial f}{\partial z} = 0$ も成り立つ（$0$ の複素共役は $0$ であるため）。 実用上は、慣習として $\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0$ を解くことが多い。

最適化の例

例（複素最小二乗問題）

複素数 $a, b \in \mathbb{C}$（$a \neq 0$）が与えられたとき、$f(z) = |az - b|^2$ を最小化する $z$ を求める。

解：

ステップ1：$f$ を $z$ と $z^*$ の多項式に展開する

$|w|^2 = w w^*$ を用いて $w = az - b$ とおくと：

\begin{align} f(z, z^*) &= (az - b)(az - b)^* \label{eq:ex-step1}\\ &= (az - b)(a^* z^* - b^*) \label{eq:ex-step2} \end{align}

展開すると：

\begin{equation} f(z, z^*) = \underbrace{a a^*}_{|a|^2} z z^* - a b^* z - a^* b z^* + \underbrace{b b^*}_{|b|^2} \label{eq:ex-expanded} \end{equation}

ステップ2：Wirtinger微分を取る

式 \eqref{eq:ex-expanded} の各項を $z^*$ で偏微分する。 式 \eqref{eq:abs-z-sq-diff} より $\dfrac{\partial}{\partial z^*}(zz^*) = z$ だから：

\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial z^*} &= |a|^2 \underbrace{\dfrac{\partial}{\partial z^*}(z z^*)}_{=z} - a b^* \underbrace{\dfrac{\partial z}{\partial z^*}}_{=0} - a^* b \underbrace{\dfrac{\partial z^*}{\partial z^*}}_{=1} + 0 \label{eq:ex-diff1}\\ &= |a|^2 z - a^* b \label{eq:ex-diff2} \end{align}

ステップ3：停留条件を解く

$\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0$ とおくと：

\begin{align} |a|^2 z &= a^* b \nonumber\\ z &= \dfrac{a^* b}{|a|^2} \label{eq:ex-solution} \end{align}

ベクトル・行列への拡張

Wirtinger微分はベクトルや行列に対しても自然に拡張できる。

定義（ベクトルに対するWirtinger微分）

$\bm{z} = [z_1, \ldots, z_n]^T \in \bbC^n$ と実数値関数 $f(\bm{z}, \bm{z}^*)$ に対し：

$$\dfrac{\partial f}{\partial \bm{z}^*} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial z_1^*} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial f}{\partial z_n^*} \end{bmatrix} \in \bbC^n$$

有用な公式

定理（ベクトル・行列の微分公式）

$\bm{z}, \bm{w} \in \bbC^n$、$\bm{A} \in \bbC^{n \times n}$（エルミート行列）、$\bm{b} \in \bbC^n$ に対して：

\begin{align} \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(\bm{w}^H \bm{z}) &= \bm{0} \label{eq:vec-wHz}\\ \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(\bm{z}^H \bm{w}) &= \bm{w} \label{eq:vec-zHw}\\ \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(\bm{z}^H \bm{A} \bm{z}) &= \bm{A} \bm{z} \label{eq:vec-zHAz}\\ \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(\bm{z}^H \bm{b} + \bm{z}^H \bm{A} \bm{z}) &= \bm{b} + \bm{A} \bm{z} \label{eq:vec-combined} \end{align}

ここで、$\bm{w}^H$ は $\bm{w}$ の共役転置である。 証明は行列微分の証明集 16.57を参照。

例（複素Wiener-Hopf方程式）

複素ベクトル $\bm{z} \in \bbC^n$ に対し、次の二次形式を最小化する：

$$J(\bm{z}) = \bm{z}^H \bm{R} \bm{z} - \bm{z}^H \bm{p} - \bm{p}^H \bm{z} + \sigma^2$$

ここで、$\bm{R} = \bm{R}^H$（エルミート行列）、$\bm{p} \in \bbC^n$、$\sigma^2 \in \bbR$ である。

解：

ステップ1：各項を $\bm{z}^*$ で偏微分する

$J$ は4つの項からなる。それぞれを式 \eqref{eq:vec-wHz}〜\eqref{eq:vec-zHAz} を用いて微分する。

\begin{align} \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(\bm{z}^H \bm{R} \bm{z}) &= \bm{R} \bm{z} & &\text{(式}\;\eqref{eq:vec-zHAz}\text{: }\bm{A} = \bm{R}\text{)} \label{eq:wh-term1}\\ \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(-\bm{z}^H \bm{p}) &= -\bm{p} & &\text{(式}\;\eqref{eq:vec-zHw}\text{: }\bm{w} = \bm{p}\text{)} \label{eq:wh-term2}\\ \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(-\bm{p}^H \bm{z}) &= \bm{0} & &\text{(式}\;\eqref{eq:vec-wHz}\text{: }\bm{w} = \bm{p}\text{)} \label{eq:wh-term3}\\ \dfrac{\partial}{\partial \bm{z}^*}(\sigma^2) &= \bm{0} & &\text{(定数)} \label{eq:wh-term4} \end{align}

ステップ2：合計する

式 \eqref{eq:wh-term1}〜\eqref{eq:wh-term4} を加えると：

\begin{equation} \dfrac{\partial J}{\partial \bm{z}^*} = \bm{R} \bm{z} - \bm{p} + \bm{0} + \bm{0} = \bm{R} \bm{z} - \bm{p} \label{eq:wh-gradient} \end{equation}

ステップ3：停留条件を解く

$\dfrac{\partial J}{\partial \bm{z}^*} = \bm{0}$ とおくと：

\begin{align} \bm{R} \bm{z} &= \bm{p} \nonumber\\ \bm{z}_{\text{opt}} &= \bm{R}^{-1} \bm{p} \label{eq:wh-solution} \end{align}

これは複素Wienerフィルタの解（Wiener-Hopf方程式）である。 $\bm{R}$ はエルミート正定値行列なので逆行列が存在する。

計算例

例1：$f(z) = |z|^4$ の停留点

$f(z, z^*) = (z z^*)^2$ の停留点を求める。

解：

ステップ1：$f$ を $z$ と $z^*$ で表す

$|z|^2 = z z^*$ だから：

\begin{equation} f(z, z^*) = (z z^*)^2 = |z|^4 \label{eq:ex1-step1} \end{equation}

ステップ2：$z^*$ で微分する

連鎖律を用いて：

\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial z^*} &= \dfrac{\partial}{\partial z^*}(z z^*)^2 \nonumber\\ &= 2(z z^*) \cdot \dfrac{\partial}{\partial z^*}(z z^*) & &\text{(連鎖律)} \label{eq:ex1-step2a}\\ &= 2(z z^*) \cdot z & &\text{(式}\;\eqref{eq:abs-z-sq-diff}\text{)} \label{eq:ex1-step2b}\\ &= 2|z|^2 z \label{eq:ex1-step2c} \end{align}

ステップ3：停留条件を解く

$\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0$ とおくと：

\begin{equation} 2|z|^2 z = 0 \label{eq:ex1-step3} \end{equation}

$|z|^2 \geq 0$ だから、この式が成り立つのは $z = 0$ のときのみである。

結論

$z = 0$ が唯一の停留点である。$f(z) = |z|^4 \geq 0$ かつ $f(0) = 0$ より、これは大域的最小点である。

例2：$f(z) = |z - a|^2$ の最小化

複素平面上の点 $z$ と定点 $a \in \bbC$ との距離の2乗 $f(z) = |z - a|^2$ を最小化する。

解：

ステップ1：$f$ を $z$ と $z^*$ で表す

$|w|^2 = w w^*$ を用いて：

\begin{align} f(z, z^*) &= |z - a|^2 = (z - a)(z - a)^* \nonumber\\ &= (z - a)(z^* - a^*) \nonumber\\ &= z z^* - z a^* - a z^* + a a^* \label{eq:ex2-step1} \end{align}

ステップ2：$z^*$ で偏微分する

式 \eqref{eq:ex2-step1} の各項を $z^*$ で微分すると：

\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial z^*} &= \dfrac{\partial}{\partial z^*}(z z^* - z a^* - a z^* + a a^*) \nonumber\\ &= z - 0 - a + 0 & &\text{(式}\;\eqref{eq:abs-z-sq-diff}\text{ を各項に適用)} \label{eq:ex2-step2a}\\ &= z - a \label{eq:ex2-step2b} \end{align}

ポイント：$z^*$ で微分すると、$z$ を含む項からは $z$ が出てきて、$z^*$ を含まない項（$z a^*$ など）は定数として扱われる。

ステップ3：停留条件を解く

$\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0$ とおくと：

\begin{equation} z - a = 0 \quad \Rightarrow \quad z = a \label{eq:ex2-step3} \end{equation}

ステップ4：ヘッセ行列による極小性の判定

$z = x + iy$ として、実変数 $(x, y)$ でのヘッセ行列を計算する。$f = (x - a_x)^2 + (y - a_y)^2$ より：

\begin{equation} H = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I \label{eq:ex2-hessian} \end{equation}

$H$ は正定値（すべての固有値が正）なので、$z = a$ は狭義凸な極小点である。

結論

$z = a$ が唯一の停留点であり、大域的最小点である（最小値は $f(a) = 0$）。

幾何学的解釈：複素平面上で定点 $a$ に最も近い点は $a$ 自身である、という直感的な結果がWirtinger微分によって代数的に導かれた。

例3：2変数の場合

$f(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|^2 + |z_1|^2$ を最小化する。

解：

ステップ1：$f$ を展開する

$|w|^2 = w w^*$ を用いて：

\begin{align} f &= (z_1 - z_2)(z_1 - z_2)^* + z_1 z_1^* \nonumber\\ &= (z_1 - z_2)(z_1^* - z_2^*) + z_1 z_1^* \nonumber\\ &= z_1 z_1^* - z_1 z_2^* - z_2 z_1^* + z_2 z_2^* + z_1 z_1^* \label{eq:ex3-step1} \end{align}

ステップ2：$z_1^*$ で偏微分する

式 \eqref{eq:ex3-step1} の各項を $z_1^*$ で微分：

\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial z_1^*} &= z_1 - z_2 - 0 + 0 + z_1 \nonumber\\ &= 2z_1 - z_2 \label{eq:ex3-step2} \end{align}

ステップ3：$z_2^*$ で偏微分する

式 \eqref{eq:ex3-step1} の各項を $z_2^*$ で微分：

\begin{align} \dfrac{\partial f}{\partial z_2^*} &= 0 - 0 - z_1 + z_2 + 0 \nonumber\\ &= z_2 - z_1 \label{eq:ex3-step3} \end{align}

ステップ4：停留条件を解く

$\dfrac{\partial f}{\partial z_1^*} = 0$ かつ $\dfrac{\partial f}{\partial z_2^*} = 0$ とおくと：

\begin{align} 2z_1 - z_2 &= 0 \label{eq:ex3-step4a}\\ z_2 - z_1 &= 0 \label{eq:ex3-step4b} \end{align}

式 \eqref{eq:ex3-step4b} より $z_2 = z_1$。これを式 \eqref{eq:ex3-step4a} に代入：

$$2z_1 - z_1 = z_1 = 0$$

結論

$z_1 = z_2 = 0$ が唯一の停留点である。$f(0, 0) = 0$ かつ $f(z_1, z_2) \geq 0$ より、これは大域的最小点である。

応用

信号処理

  • 適応フィルタ：複素LMSアルゴリズムの勾配計算
  • Wienerフィルタ：複素信号に対する最適線形推定器の導出
  • アレー信号処理：ビームフォーミングの最適化

機械学習

  • 複素ニューラルネットワーク：複素パラメータに対する勾配降下法
  • 量子機械学習：複素振幅を持つ量子状態の最適化

通信理論

  • MIMO通信：複素チャネル行列に対する最適受信機の設計
  • 等化器：複素シンボルに対する最適検出

関連項目