第1章 文字式と多項式
単項式と多項式の基礎
文字式とは
数学では、具体的な数の代わりに文字を使って数や式を表すことが多い。そうすることで一般的な法則を簡潔に表現できる。
文字を使う利点
縦を $a$、横を $b$、面積を $S$ と文字で表すことにすれば、「長方形の面積 = 縦 × 横」は
$$S = ab$$と簡潔に書くことができる。しかも、$a,b$ に長さを入れれば、どんな長方形の面積でも計算することができるようになる。
単項式
単項式（Monomial）
数と文字の積だけで表される式を単項式という。
例：$5x$, $-3a^2b$, $\dfrac{2}{3}xy^2$, $7$, $a$（数だけ、1文字だけも単項式）
係数と次数
- 係数：単項式の数の部分
- 次数：かけ合わされている文字の個数。$0$ 以外の定数（例えば $7$）の次数は $0$ である
注意：$0$ の次数は定めない。なぜなら、$0$ はどんな次数の単項式にも $0$ を掛けて作れる（$0 = 0 \cdot x = 0 \cdot x^2 = \cdots$）ため、特定の次数を割り当てると矛盾が生じるからである。
例：単項式の係数と次数
| 単項式 | 係数 | 次数 |
|---|---|---|
| $5x$ | $5$ | $1$ |
| $-3a^2b$ | $-3$ | $3$（$a$ が2個、$b$ が1個） |
| $\dfrac{2}{3}xy^2$ | $\dfrac{2}{3}$ | $3$（$x$ が1個、$y$ が2個） |
| $7$ | $7$ | $0$（定数項） |
多項式
多項式（Polynomial）
単項式の和として表される式を多項式という。
多項式を構成する各単項式を項という。
例：多項式
$$3x^2 + 5x - 2$$この多項式は3つの項からなる：
- $3x^2$（2次の項）
- $5x$（1次の項）
- $-2$（定数項、0次の項）
多項式の次数
多項式の次数は、各項の次数のうち最も高いもの。
例：多項式の次数
- $3x^2 + 5x - 2$ の次数は $2$（最高次の項は $3x^2$）
- $x^3 - 4x + 1$ の次数は $3$
- $5$ の次数は $0$（定数のみ）
同類項
同類項
文字の部分が全く同じ項を同類項という。
同類項は係数を足し引きしてまとめることができる。
例：同類項をまとめる
\begin{align} 3x^2 + 5x - 2x^2 + 4x &= (3x^2 - 2x^2) + (5x + 4x) \\ &= (3 - 2)x^2 + (5 + 4)x \\ &= x^2 + 9x \end{align}同類項の判定
- $5x$ と $4x$ → 同類項（文字部分が $x$ で同じ）
- $3x^2$ と $-2x^2$ → 同類項（文字部分が $x^2$ で同じ）
- $2xy$ と $3yx$ → 同類項（$xy = yx$ なので同じ）
- $3x^2$ と $5x$ → 同類項でない（次数が異なる）
- $3x$ と $5y$ → 同類項でない（文字部分が異なる）
多項式の整理
多項式は通常、降べきの順（次数の高い項から低い項へ）に整理する。
例：多項式の整理
$5 - 3x + 2x^3 + x^2$ を $x$ について降べきの順に整理する：
$$2x^3 + x^2 - 3x + 5$$例：2変数の多項式
$3xy + 2x^2 - y^2 + 5x - 1$ を $x$ について整理する：
\begin{align} &= 2x^2 + (3y + 5)x + (-y^2 - 1) \\ &= 2x^2 + (3y + 5)x - y^2 - 1 \end{align}$x$ の2次式として見ると、係数が $y$ を含む式になる。
多項式の加法と減法
多項式の加法
多項式の加法は、同類項の係数を足し合わせる。
例：多項式の加法
$(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4)$ を計算する：
\begin{align} &(3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4) \\ &= 3x^2 + 2x - 1 + x^2 - 5x + 4 \\ &= (3x^2 + x^2) + (2x - 5x) + (-1 + 4) \\ &= 4x^2 - 3x + 3 \end{align}多項式の減法
多項式の減法は、引く多項式の各項の符号を変えて加える。
例：多項式の減法
$(3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 5x + 4)$ を計算する：
\begin{align} &(3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 5x + 4) \\ &= 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 5x - 4 \\ &= (3x^2 - x^2) + (2x + 5x) + (-1 - 4) \\ &= 2x^2 + 7x - 5 \end{align}注意：括弧の外し方
$-(x^2 - 5x + 4)$ を外すとき、すべての項の符号が変わる：
$$-(x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4$$$-5x$ は $+5x$ に、$+4$ は $-4$ になることに注意。
練習問題
問題1
次の単項式の係数と次数を答えよ。
- $-7x^3$
- $\dfrac{1}{2}a^2b^3$
- $5$
問題2
次の式を同類項をまとめて簡単にせよ。
- $4x^2 - 3x + 2x^2 + 5x - 1$
- $2a + 3b - 5a + b$
問題3
次の計算をせよ。
- $(2x^2 - 3x + 1) + (x^2 + 4x - 2)$
- $(5x^2 + 2x - 3) - (2x^2 - x + 1)$
解答を見る
問題1の解答
- 係数：$-7$、次数：$3$
- 係数：$\dfrac{1}{2}$、次数：$5$（$a$ が2個 + $b$ が3個）
- 係数：$5$、次数：$0$
問題2の解答
- \begin{align} 4x^2 - 3x + 2x^2 + 5x - 1 &= (4x^2 + 2x^2) + (-3x + 5x) - 1 \\ &= 6x^2 + 2x - 1 \end{align}
- \begin{align} 2a + 3b - 5a + b &= (2a - 5a) + (3b + b) \\ &= -3a + 4b \end{align}
問題3の解答
- \begin{align} &(2x^2 - 3x + 1) + (x^2 + 4x - 2) \\ &= 2x^2 - 3x + 1 + x^2 + 4x - 2 \\ &= 3x^2 + x - 1 \end{align}
- \begin{align} &(5x^2 + 2x - 3) - (2x^2 - x + 1) \\ &= 5x^2 + 2x - 3 - 2x^2 + x - 1 \\ &= 3x^2 + 3x - 4 \end{align}