このページについて
このページは全学部共通の基礎的な数学記号を紹介しています。
より高度な数学記号（ベクトル解析、フーリエ変換など）は理系向け応用ページをご覧ください。
極限と連続性
極限の定義（ε-δ定義）
記述：
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$
表示：
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$
数列の極限（ε-N定義）
記述：
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$
表示：
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = L \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$
連続性の定義
記述：
$f$が$a$で連続 $\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
表示：
$f$が$a$で連続 $\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
一様連続性
記述：
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$
表示：
$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon$
2変数関数の極限
記述：
$\displaystyle\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$
表示：
$\displaystyle\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L$
上極限・下極限
記述：
$\displaystyle\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k$, $\displaystyle\liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k$
表示：
$\displaystyle\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k$, $\displaystyle\liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k$
偏微分
偏微分の表記
記述：
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$
表示：
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}$
2階偏微分
記述：
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$
表示：
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$
混合偏微分
記述：
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$
表示：
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$
ヤコビアン
記述：
$\displaystyle J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$
表示：
$\displaystyle J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$
多変数微分法
全微分
記述：
$\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
表示：
$\displaystyle df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
方向微分
記述：
$\displaystyle D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} = \frac{\partial f}{\partial x}u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}u_2$
表示：
$\displaystyle D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} = \frac{\partial f}{\partial x}u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}u_2$
合成関数の微分（連鎖律）
記述：
$\displaystyle\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$
表示：
$\displaystyle\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$
陰関数定理
記述：
$F(x,y) = 0$のとき $\displaystyle\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} = -\frac{F_x}{F_y}$
表示：
$F(x,y) = 0$のとき $\displaystyle\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y} = -\frac{F_x}{F_y}$
ヘッセ行列（2次の偏導関数行列）
記述：
$\displaystyle H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$
表示：
$\displaystyle H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$
ラグランジュの未定乗数法
記述：
$\nabla f = \lambda \nabla g$（条件$g(x,y) = c$のもとで$f(x,y)$を極値化）
表示：
$\nabla f = \lambda \nabla g$（条件$g(x,y) = c$のもとで$f(x,y)$を極値化）
テイラー展開（2変数）
記述：
$\displaystyle f(a+h, b+k) = f(a,b) + \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)f + \frac{1}{2!}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f + \cdots$
表示：
$\displaystyle f(a+h, b+k) = f(a,b) + \left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)f + \frac{1}{2!}\left(h\frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f + \cdots$
様々な積分
2重積分
記述：
$\displaystyle\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$
表示：
$\displaystyle\iint_D f(x,y) \, dx \, dy$
3重積分
記述：
$\displaystyle\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$
表示：
$\displaystyle\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz$
線積分
記述：
$\displaystyle\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \, dt$
表示：
$\displaystyle\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \, dt$
面積分
記述：
$\displaystyle\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS$
表示：
$\displaystyle\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS$
線形代数
行列の積
記述：
$AB$
表示：
$AB$
単位行列
記述：
$I$ または $E$
表示：
$I$ または $E$
固有値
記述：
$\lambda$
表示：
$\lambda$
固有方程式
記述：
$\det(A - \lambda I) = 0$
表示：
$\det(A - \lambda I) = 0$
トレース（跡）
記述：
$\text{tr}(A)$
表示：
$\text{tr}(A)$
ランク（階数）
記述：
$\text{rank}(A)$
表示：
$\text{rank}(A)$
逆行列の存在条件
記述：
$A^{-1}$が存在 $\Leftrightarrow \det(A) \neq 0$
表示：
$A^{-1}$が存在 $\Leftrightarrow \det(A) \neq 0$
2×2行列の逆行列
記述：
$\displaystyle\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
表示：
$\displaystyle\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
行列式の性質
記述：
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$, $\det(A^T) = \det(A)$
表示：
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$, $\det(A^T) = \det(A)$
固有ベクトル
記述：
$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$（$\vec{v} \neq \vec{0}$）
表示：
$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$（$\vec{v} \neq \vec{0}$）
対角化
記述：
$A = PDP^{-1}$（$D$は対角行列、$P$は固有ベクトルを並べた行列）
表示：
$A = PDP^{-1}$（$D$は対角行列、$P$は固有ベクトルを並べた行列）
ケーリー・ハミルトンの定理
記述：
$\det(A - \lambda I) = 0$の特性多項式を$p(\lambda)$とすると$p(A) = O$
表示：
$\det(A - \lambda I) = 0$の特性多項式を$p(\lambda)$とすると$p(A) = O$
直交行列
記述：
$Q^TQ = QQ^T = I$（すなわち $Q^{-1} = Q^T$）
表示：
$Q^TQ = QQ^T = I$（すなわち $Q^{-1} = Q^T$）
内積（ドット積）
記述：
$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = \vec{u}^T \vec{v}$
表示：
$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = \vec{u}^T \vec{v}$
グラム・シュミットの正規直交化
記述：
$\displaystyle \vec{u}_k = \vec{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \vec{v}_k, \vec{u}_j \rangle}{\langle \vec{u}_j, \vec{u}_j \rangle} \vec{u}_j$
表示：
$\displaystyle \vec{u}_k = \vec{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \vec{v}_k, \vec{u}_j \rangle}{\langle \vec{u}_j, \vec{u}_j \rangle} \vec{u}_j$
次元定理
記述：
$\dim(\text{Ker}(A)) + \dim(\text{Im}(A)) = n$（$A$は$m \times n$行列）
表示：
$\dim(\text{Ker}(A)) + \dim(\text{Im}(A)) = n$（$A$は$m \times n$行列）
微分方程式
1階線形微分方程式
記述：
$\displaystyle\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
表示：
$\displaystyle\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
1階線形の一般解
記述：
$\displaystyle y = e^{-\int P dx}\left(\int Q e^{\int P dx} dx + C\right)$
表示：
$\displaystyle y = e^{-\int P dx}\left(\int Q e^{\int P dx} dx + C\right)$
変数分離形
記述：
$\displaystyle\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$
表示：
$\displaystyle\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$
2階線形同次微分方程式
記述：
$\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} + p\frac{dy}{dx} + qy = 0$
表示：
$\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} + p\frac{dy}{dx} + qy = 0$
特性方程式
記述：
$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$（$y = e^{\lambda x}$を代入）
表示：
$\lambda^2 + p\lambda + q = 0$（$y = e^{\lambda x}$を代入）
2階の一般解（相異なる実根）
記述：
$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
表示：
$y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$
2階の一般解（重根）
記述：
$y = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$
表示：
$y = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$
2階の一般解（複素根）
記述：
$\lambda = \alpha \pm \beta i$のとき $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
表示：
$\lambda = \alpha \pm \beta i$のとき $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
ラプラス変換
記述：
$\displaystyle\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt$
表示：
$\displaystyle\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt$
逆ラプラス変換
記述：
$\displaystyle\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} e^{st} F(s) ds$
表示：
$\displaystyle\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} e^{st} F(s) ds$
確率・統計
条件付き確率
記述：
$\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
表示：
$\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
ベイズの定理
記述：
$\displaystyle P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
表示：
$\displaystyle P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
共分散
記述：
$\text{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]$
表示：
$\text{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]$
相関係数
記述：
$\displaystyle\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
表示：
$\displaystyle\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
正規分布の確率密度関数
記述：
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
表示：
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
中心極限定理
記述：
$\displaystyle \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$
表示：
$\displaystyle \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$
モーメント母関数
記述：
$M_X(t) = E[e^{tX}]$
表示：
$M_X(t) = E[e^{tX}]$
二項分布
記述：
$\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E[X] = np$, $V[X] = np(1-p)$
表示：
$\displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E[X] = np$, $V[X] = np(1-p)$
ポアソン分布
記述：
$\displaystyle P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, $E[X] = V[X] = \lambda$
表示：
$\displaystyle P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, $E[X] = V[X] = \lambda$
指数分布
記述：
$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ $(x \geq 0)$, $E[X] = \frac{1}{\lambda}$, $V[X] = \frac{1}{\lambda^2}$
表示：
$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ $(x \geq 0)$, $E[X] = \frac{1}{\lambda}$, $V[X] = \frac{1}{\lambda^2}$
カイ二乗分布
記述：
$\chi^2_n = \sum_{i=1}^{n} Z_i^2$（$Z_i \sim N(0,1)$が独立）, $E[\chi^2_n] = n$, $V[\chi^2_n] = 2n$
表示：
$\chi^2_n = \sum_{i=1}^{n} Z_i^2$（$Z_i \sim N(0,1)$が独立）, $E[\chi^2_n] = n$, $V[\chi^2_n] = 2n$
t分布
記述：
$\displaystyle t_n = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_n/n}}$（$Z \sim N(0,1)$, $\chi^2_n$は独立）
表示：
$\displaystyle t_n = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_n/n}}$（$Z \sim N(0,1)$, $\chi^2_n$は独立）
F分布
記述：
$\displaystyle F_{m,n} = \frac{\chi^2_m/m}{\chi^2_n/n}$（$\chi^2_m$, $\chi^2_n$は独立）
表示：
$\displaystyle F_{m,n} = \frac{\chi^2_m/m}{\chi^2_n/n}$（$\chi^2_m$, $\chi^2_n$は独立）
大数の法則
記述：
$\displaystyle\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \xrightarrow{P} \mu$（$n \to \infty$）
表示：
$\displaystyle\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \xrightarrow{P} \mu$（$n \to \infty$）
不偏推定量（標本分散）
記述：
$\displaystyle s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$（$E[s^2] = \sigma^2$）
表示：
$\displaystyle s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$（$E[s^2] = \sigma^2$）
論理記号・集合論
全称記号
記述：
$\forall x \in A$（すべてのxについて）
表示：
$\forall x \in A$（すべてのxについて）
存在記号
記述：
$\exists x \in A$（あるxが存在する）
表示：
$\exists x \in A$（あるxが存在する）
一意存在
記述：
$\exists! x$（ただ一つのxが存在する）
表示：
$\exists! x$（ただ一つのxが存在する）
含意・同値
記述：
$P \Rightarrow Q$（PならばQ）, $P \Leftrightarrow Q$（Pと Qは同値）
表示：
$P \Rightarrow Q$（PならばQ）, $P \Leftrightarrow Q$（Pと Qは同値）
否定・論理積・論理和
記述：
$\neg P$, $P \land Q$, $P \lor Q$
表示：
$\neg P$, $P \land Q$, $P \lor Q$
数の集合
記述：
$\mathbb{N}$（自然数）, $\mathbb{Z}$（整数）, $\mathbb{Q}$（有理数）, $\mathbb{R}$（実数）, $\mathbb{C}$（複素数）
表示：
$\mathbb{N}$（自然数）, $\mathbb{Z}$（整数）, $\mathbb{Q}$（有理数）, $\mathbb{R}$（実数）, $\mathbb{C}$（複素数）
集合演算
記述：
$A \cup B$（和集合）, $A \cap B$（共通部分）, $A \setminus B$（差集合）, $A^c$（補集合）
表示：
$A \cup B$（和集合）, $A \cap B$（共通部分）, $A \setminus B$（差集合）, $A^c$（補集合）
部分集合・真部分集合
記述：
$A \subseteq B$, $A \subset B$, $A \subsetneq B$
表示：
$A \subseteq B$, $A \subset B$, $A \subsetneq B$
空集合
記述：
$\emptyset$ または $\varnothing$
表示：
$\emptyset$ または $\varnothing$
写像・関数
記述：
$f: A \to B$, $f: x \mapsto f(x)$
表示：
$f: A \to B$, $f: x \mapsto f(x)$
定義
記述：
$A := B$ または $A \equiv B$（AをBで定義する）
表示：
$A := B$ または $A \equiv B$（AをBで定義する）
級数展開
テイラー展開
記述：
$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
表示：
$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
マクローリン展開
記述：
$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
表示：
$\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
$e^x$のマクローリン展開
記述：
$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
表示：
$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
$\sin x$のマクローリン展開
記述：
$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
表示：
$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
$\cos x$のマクローリン展開
記述：
$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
表示：
$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
$\ln(1+x)$のマクローリン展開
記述：
$\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ $(-1 < x \leq 1)$
表示：
$\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ $(-1 < x \leq 1)$
$(1+x)^\alpha$のマクローリン展開（二項級数）
記述：
$\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$
表示：
$\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$
収束半径
記述：
$\displaystyle R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ または $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
表示：
$\displaystyle R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ または $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
複素解析
複素数の表示
記述：
$z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$
表示：
$z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$
オイラーの公式
記述：
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, $e^{i\pi} + 1 = 0$
表示：
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, $e^{i\pi} + 1 = 0$
複素共役・絶対値
記述：
$\bar{z} = x - iy$, $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$
表示：
$\bar{z} = x - iy$, $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$
コーシー・リーマン方程式
記述：
$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$（$f(z) = u + iv$が正則である条件）
表示：
$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$, $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$（$f(z) = u + iv$が正則である条件）
コーシーの積分定理
記述：
$\displaystyle\oint_C f(z) dz = 0$（$f$が単連結領域で正則のとき）
表示：
$\displaystyle\oint_C f(z) dz = 0$（$f$が単連結領域で正則のとき）
コーシーの積分公式
記述：
$\displaystyle f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz$
表示：
$\displaystyle f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz$
ローラン展開
記述：
$\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n$（$a$の周りで）
表示：
$\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n$（$a$の周りで）
留数定理
記述：
$\displaystyle\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, a_k)$
表示：
$\displaystyle\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, a_k)$
1位の極における留数
記述：
$\displaystyle\text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a}(z-a)f(z)$
表示：
$\displaystyle\text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a}(z-a)f(z)$
ベクトル解析
勾配 (grad)
記述：
$\displaystyle\nabla f = \mathrm{grad}\, f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$
表示：
$\displaystyle\nabla f = \mathrm{grad}\, f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$
発散 (div)
記述：
$\displaystyle\nabla \cdot \vec{F} = \mathrm{div}\, \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
表示：
$\displaystyle\nabla \cdot \vec{F} = \mathrm{div}\, \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
回転 (rot)
記述：
$\displaystyle\nabla \times \vec{F} = \mathrm{rot}\, \vec{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)$
表示：
$\displaystyle\nabla \times \vec{F} = \mathrm{rot}\, \vec{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)$
ラプラシアン
記述：
$\displaystyle\nabla^2 f = \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
表示：
$\displaystyle\nabla^2 f = \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
ガウスの発散定理
記述：
$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F})\, dV = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$
表示：
$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F})\, dV = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$
ストークスの定理
記述：
$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$
表示：
$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$
グリーンの定理
記述：
$\displaystyle\oint_C (P dx + Q dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$
表示：
$\displaystyle\oint_C (P dx + Q dy) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$
読書ノートでの使い方例
例1: 偏微分の問題
記述：
p.56の問題: $f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2$のとき、$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$、$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y$
表示：
p.56の問題: $f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2$のとき、$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$、$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y$
例2: 固有値の計算
記述：
行列$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$の固有値は$\det(A - \lambda I) = 0$より$\lambda = 1, 3$
表示：
行列$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$の固有値は$\det(A - \lambda I) = 0$より$\lambda = 1, 3$
例3: 最尤推定
記述：
尤度関数$L(\theta) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$を最大化。対数尤度$\ell(\theta) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \log f(x_i; \theta)$より$\displaystyle\frac{\partial \ell}{\partial \theta} = 0$を解く
表示：
尤度関数$L(\theta) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$を最大化。対数尤度$\ell(\theta) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \log f(x_i; \theta)$より$\displaystyle\frac{\partial \ell}{\partial \theta} = 0$を解く
よく使う記号一覧
\partial→ 偏微分記号∂\iint, \iiint→ 多重積分\forall, \exists→ 全称∀・存在∃\det→ 行列式det\text{}→ 数式内にテキスト