命題論理を推論規則の体系として
真理値表ではなく「導ける／導けない」で見る
入門（高校〜大学1年レベル）
このページの目標
論理結合子 $\land, \lor, \to, \neg$ を確認し、命題論理を「真理値表で計算するもの」ではなく「推論規則で導くもの」として見る視点を身につける。真理値表との関係も押さえる。
1. 命題と論理結合子
命題とは、真か偽かが定まる主張である。命題論理は、命題の内部（主語・述語など）には立ち入らず、命題を文字 $p, q, r, \dots$ で表し、それらのつなぎ方だけを扱う。つなぐ道具が論理結合子である。
- $\neg A$：否定（$A$ でない）
- $A \land B$：連言（$A$ かつ $B$）
- $A \lor B$：選言（$A$ または $B$）
- $A \to B$：含意（$A$ ならば $B$）
結合子の直観的な意味は 証明・論理演算 でも扱っている。本章では、これらに「意味」ではなく「使い方の規則」を与える見方に踏み込む。
2. 命題論理の二つの見方
命題論理を定義する方法は、大きく二通りある。
意味による定義（真理値表）
各命題変数に真 $\top$ / 偽 $\bot$ を割り当て、結合子の真理値表に従って式全体の真偽を計算する。すべての割り当てで真になる式を恒真式（トートロジー）という。これは 構文と意味 でいう意味の側の定義である。
構文による定義（推論規則）
各結合子に「どんなときに導入してよいか・どう使ってよいか」を定める推論規則を与え、規則の適用を積み重ねて式を導く。導けた式が定理である。これは 構文と意味 でいう構文の側の定義である。
本シリーズが重視するのは後者である。なぜなら、推論規則による定義は記号操作だけで完結し、機械的に検査できるからである。次章以降の述語論理・自然演繹・証明アシスタントは、すべてこの「規則で導く」立場の延長線上にある。
3. 推論規則という形
推論規則は、横線の上に前提、下に結論を書く形で表す。「上が全部言えたら、下が言える」と読む。
連言の導入（$A$ と $B$ が言えれば $A \land B$ が言える）：
$$\dfrac{A \qquad B}{A \land B}$$含意の除去（モーダスポネンス。$A \to B$ と $A$ から $B$）：
$$\dfrac{A \to B \qquad A}{B}$$これらは「真理値表を計算した結果」ではなく、最初から規則として与えられる。式の意味を一切考えず、形が合えば適用してよい。この機械性こそが、構文の立場の核心である。各結合子に導入規則と除去規則を体系的に与えたものが自然演繹であり、初級・自然演繹 で詳しく扱う。
4. 真理値表との関係
意味（真理値表）と構文（推論規則）は別の定義だが、古典命題論理では同じ命題の集合を定める。すなわち次が成り立つ。
古典命題論理の健全性・完全性（概要）
式 $A$ について、$A$ が推論規則で導ける（$\vdash A$）ことと、$A$ が恒真式である（$\models A$、すべての割り当てで真）ことは同値である。
「規則で導ける」と「いつも真」が一致するというこの事実は当たり前ではなく、証明を要する定理である。これが 健全性と完全性 の主題になる。
まとめ
この章のポイント
- 命題論理：命題を文字で表し、結合子 $\neg, \land, \lor, \to$ でつなぐ
- 論理には意味（真理値表）と構文（推論規則）の二つの定義がある
- 推論規則は「前提が言えれば結論が言える」を記号の形だけで定める
- 古典命題論理では「導ける」と「いつも真」が一致する（健全性・完全性）
よくある質問
命題論理とは何か
真偽の定まる主張（命題）を、論理結合子 $\land$（かつ）、$\lor$（または）、$\to$（ならば）、$\neg$（でない）で組み合わせて推論する論理体系である。命題の内部構造には立ち入らず、命題どうしのつながりだけを扱う、もっとも単純な論理である。
推論規則の体系として論理を見るとはどういうことか
真理値表で「いつ真か」を計算する代わりに、各結合子に「どう使ってよいか」の推論規則を与え、規則の適用列として証明を組み立てる見方である。$A$ と $B$ が言えれば $A \land B$、というように論理を記号操作として扱う。この見方が自然演繹や証明アシスタントに直結する。
真理値表と推論規則はどちらが正しいのか
両方とも命題論理を定義する正しい方法で、真理値表は意味（いつ真か）、推論規則は構文（何が導けるか）を与える。古典命題論理ではこの二つが一致する（健全性と完全性）。「すべての行で真」と「規則で導ける」が同じ命題の集合を定める。