フーリエ級数の定義
一般的な周期に対する厳密な定式化
初級（大学2〜3年レベル）
はじめに
入門編では周期 $2\pi$ の関数を扱ったが、実際の応用では任意の周期の関数を扱う必要がある。この章では、周期 $2L$ の関数に対するフーリエ級数を一般的に定義する。
一般の周期に対するフーリエ級数
周期 $2L$ の関数 $f(x)$（すなわち $f(x + 2L) = f(x)$）に対するフーリエ級数は：
$$f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\dfrac{n\pi x}{L} + b_n\sin\dfrac{n\pi x}{L}\right)$$
厳密には、右辺の級数を $f$ のフーリエ級数と定義する。この級数が実際に $f(x)$ そのものに一致する（等号が成り立つ）かどうかは収束の問題であり、区分的に滑らかな関数などの条件のもとで成り立つ（詳細は後続の章で扱う）。
ここで、基本角周波数は $\omega = \dfrac{\pi}{L}$ であり、$n$ 次の項の角周波数は $n\omega = \dfrac{n\pi}{L}$ となる。
周期 $2\pi$ の場合との対応
$L = \pi$ のとき、$\dfrac{n\pi x}{L} = nx$ となり、入門編の公式に一致する。
なぜ $L$ を「半周期」にとるのか：ここで $L$ は周期そのものではなく半周期（積分区間 $[-L,L]$ の半分の幅）である。こう選ぶと、入門編の周期 $2\pi$ の公式が「$\pi$ を $L$ に置き換えるだけ」で一般化でき、対応が非常にきれいになる。
| 周期 $2\pi$ | 一般（周期 $2L$） | |
|---|---|---|
| 半周期 | $\pi$ | $L$ |
| 積分区間 | $[-\pi,\pi]$ | $[-L,L]$ |
| 基底 | $\cos nx,\ \sin nx$ | $\cos\dfrac{n\pi x}{L},\ \sin\dfrac{n\pi x}{L}$ |
もし代わりに「周期を $L$」ととると、区間は $[-L/2,\,L/2]$、基底は $\cos\dfrac{2\pi n x}{L}$ となり、$2$ が随所に現れて煩雑になる。工学・信号処理では周波数 $n/L$ が素直に出るこの周期 $L$ の流儀も広く使われる。どちらも正しく、$2L$ を使うのは記法上の約束にすぎない。
フーリエ係数の公式
フーリエ係数は以下の積分で与えられる：
$$a_0 = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)\,dx$$
$$a_n = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx \quad (n \geq 1)$$
$$b_n = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L}\,dx \quad (n \geq 1)$$
積分区間について
積分区間は $[-L, L]$ でなくても、長さ $2L$ の任意の区間でよい。例えば $[0, 2L]$ でも同じ結果が得られる。周期関数なので、1周期分を積分すれば十分である。
直交性の一般化
周期 $2L$ の場合の直交関係は：
$$\displaystyle\int_{-L}^{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ L & (m = n \neq 0) \\ 2L & (m = n = 0) \end{cases}$$
$$\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\dfrac{m\pi x}{L}\sin\dfrac{n\pi x}{L}\,dx = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \\ L & (m = n) \end{cases}$$
$$\displaystyle\int_{-L}^{L}\cos\dfrac{m\pi x}{L}\sin\dfrac{n\pi x}{L}\,dx = 0 \quad (\text{すべての } m, n)$$
これらの直交関係から、フーリエ係数の公式が導かれる。
係数公式の導出
$a_n$ の導出
フーリエ級数の両辺に $\cos\dfrac{n\pi x}{L}$ を掛けて $-L$ から $L$ まで積分する（ここでは積分と無限和の順序交換が許されるものとして、形式的に計算する）：
$$\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx = \displaystyle\int_{-L}^{L}\dfrac{a_0}{2}\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx + \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\int_{-L}^{L}a_m\cos\dfrac{m\pi x}{L}\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx + \cdots$$
直交性により、$m = n$ の項以外はすべて $0$ になる：
$$\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx = a_n \cdot L$$
したがって：
$$a_n = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx$$
$b_n$ も同様に導出できる。
係数の物理的意味
$a_0/2$：直流成分
$$\dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2L}\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)\,dx$$
これは関数の1周期にわたる平均値である。電気信号では「直流成分」に対応する。
$a_n$, $b_n$：周波数成分の強さ
振幅：$c_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$
位相：$\phi_n = \arctan\left(-\dfrac{b_n}{a_n}\right)$
（実装では象限を正しく扱うため、$\arctan$ ではなく $\operatorname{atan2}(-b_n,\,a_n)$ を用いることが多い。）
これらを用いると：
$$a_n\cos\dfrac{n\pi x}{L} + b_n\sin\dfrac{n\pi x}{L} = c_n\cos\left(\dfrac{n\pi x}{L} + \phi_n\right)$$
例題
周期 $2$ の矩形波
$$f(x) = \begin{cases} 1 & (0 < x < 1) \\ -1 & (-1 < x < 0) \end{cases}$$
$L = 1$ なので、$\dfrac{n\pi x}{L} = n\pi x$。
奇関数なので $a_n = 0$。
$$b_n = \displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\sin n\pi x\,dx = 2\displaystyle\int_0^1\sin n\pi x\,dx = \dfrac{2}{n\pi}(1 - \cos n\pi) = \dfrac{2}{n\pi}(1 - (-1)^n)$$
$n$ が偶数のとき $b_n = 0$、$n$ が奇数のとき $b_n = \dfrac{4}{n\pi}$。つまり、奇数次の高調波だけが現れる。
$$f(x) = \dfrac{4}{\pi}\left(\sin\pi x + \dfrac{\sin 3\pi x}{3} + \dfrac{\sin 5\pi x}{5} + \cdots\right)$$
まとめ
- 周期 $2L$ の関数に対するフーリエ級数は $\cos\dfrac{n\pi x}{L}$, $\sin\dfrac{n\pi x}{L}$ を用いて表される
- フーリエ係数は直交性を利用して計算できる
- $a_0/2$ は関数の平均値を表す
- 振幅 $c_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ は各周波数成分の強さを表す
よくある質問
Q. フーリエ級数とは何か
周期関数を三角関数（サインとコサイン）の無限和として表す展開方法である。f(x)=a₀/2 + Σ(aₙcos(nωx)+bₙsin(nωx)) という形で、元の関数を周波数成分に分解する。
Q. フーリエ係数はどのように計算するか
周期Tの関数f(x)のフーリエ係数は aₙ=(2/T)∫f(x)cos(2πnx/T)dx、bₙ=(2/T)∫f(x)sin(2πnx/T)dx の積分で計算される。三角関数の直交性が鍵である。
Q. フーリエ級数が収束するのはどのような場合か
区分的滑らかな関数ではほとんどすべての点でフーリエ級数が収束する。連続点ではf(x)自身に、跳び不連続点では左右の極限の平均値 (f(x+)+f(x-))/2 に収束する。